Encontre f^prime prime(x) diferenciando implicitamente as funções dadas.
raizx+raizy=1

Passo 1

O enunciado dá a função implícita
raizx + raizy = 1
e pede f''(x), isto é, a segunda derivada de y em função de x. Para isso, vamos usar derivação implícita duas vezes, aplicando regras de derivada de potências e produto.

Passo 2

Derivando em relação a x a igualdade
raizx + raizy = 1
obtemos
12raizx ;+;12raizy,dydx ;=;0
Isolando dydx, segue
dydx = -12raizx12raizy = -raizyraizx

Passo 3

Chamando y'=dy/dx, temos
y' = -,y^1/2,x^-1/2
Agora derivamos novamente em x, usando regra do produto e cadeia:
y'' = ddxl(-,y^1/2,x^-1/2r) = -l(tfrac12y^-1/2y',x^-1/2 + y^1/2l(-tfrac12x^-3/2r)r)

Passo 4

Substituindo y'=-raizy/raizx na expressão acima:
y'' = -l(tfrac12y'raizy,raizx - tfrac12raizyx^3/2r) = -l(tfrac12-raizy/raizxraizy,raizx - tfrac12raizyx^3/2r)
Simplificando o primeiro termo:
tfrac12-raizy/raizxraizy,raizx = -tfrac121x,
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y'' = tfrac121x + tfrac12raizyx^3/2 = raizx+raizy2x^3/2

Passo 5

Como raizx + raizy=1 pela equação original, concluímos:
y'' = 12,x^3/2

Resposta

f''(x) = 12,x^3/2

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