Expresse a integral como uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
\int_{0}^{4} \int_{2 y}^{8} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{0}^{4}\!\int_{2y}^{8}f(x,y)\,dx\,dy
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo envolve descrever a região de integração
D = \{(x,y)\mid 0\le y\le4,\;2y\le x\le8\}
e depois reescrevê-la como
\displaystyle \int\!\!\int_{D}f(x,y)\,dy\,dx.

Passo 2

Vamos entender geometricamente D. As fronteiras são:
  • y=0 (eixo x),
  • y=4,
  • x=2y (reta passando pela origem com inclinação 1/2),
  • x=8 (reta vertical).
    Desenhando isso, vemos um trapézio que, ao trocar a ordem, fica mais simples como um triângulo em que x varia de 0 a 8.

Passo 3

Para inverter, fixamos um x e determinamos os y possíveis. Pelas condições de D:
0\le y\le4, \quad 2y\le x\le8 \quad\Longrightarrow\quad y\le\frac{x}{2}.
Além disso, y\ge0. Logo, para um dado x em D, vale
0\le y\le \min\Bigl(4,\frac{x}{2}\Bigr).
Como x nunca ultrapassa 8, temos \tfrac{x}{2}\le4, então basta
0\le y\le \frac{x}{2}.

Passo 4

Falta determinar o intervalo de x. A menor abscissa em D ocorre na interseção de y=0 com x=2y, ou seja x=0, e a maior é x=8. Assim
0\le x\le8, \quad 0\le y\le \frac{x}{2}.

Resposta

\int_{0}^{4}\!\int_{2y}^{8}f(x,y)\,dx\,dy \;=\; \int_{0}^{8}\!\int_{0}^{x/2}f(x,y)\,dy\,dx.

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