Expresse a integral como uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo envolve descrever a região de integração
e depois reescrevê-la como
.
Passo 2
Vamos entender geometricamente
. As fronteiras são:
-
(eixo ), -
, -
(reta passando pela origem com inclinação ), -
(reta vertical).
Desenhando isso, vemos um trapézio que, ao trocar a ordem, fica mais simples como um triângulo em quevaria de 0 a 8.
Passo 3
Para inverter, fixamos um
e determinamos os
possíveis. Pelas condições de
:
Além disso,
. Logo, para um dado
em
, vale
Como
nunca ultrapassa 8, temos
, então basta
Passo 4
Falta determinar o intervalo de
. A menor abscissa em
ocorre na interseção de
com
, ou seja
, e a maior é
. Assim