Expresse a integral como uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{x}} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{x}}f(x,y)\,dy\,dx
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é descrever geometricamente a região de integração no plano (x,y) e trocar os limites de x e y.

Passo 2

Vamos analisar a região
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 2,\\\ 0 \le y \le \sqrt{x}\}.
A desigualdade y \le \sqrt{x} equivale a x \ge y^2. Como x vai até 2, o maior valor de y satisfazendo y \le \sqrt{x} ocorre em x=2, isto é, y\le \sqrt{2}.

Passo 3

Para inverter a ordem, tomamos y como variável externa:
  • y varia do menor valor em D, que é 0, até o maior, que é \sqrt{2}.
  • Para cada y fixo, x varia de onde começa a região, isto é x=y^2, até x=2.

Passo 4

Com esses limites, a integral equivalente com a ordem invertida fica:
\int_{y=0}^{\sqrt{2}}\int_{x=y^2}^{2}f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{x}}f(x,y)\,dy\,dx = \int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{y^2}^{2}f(x,y)\,dx\,dy.

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