Resolva a equação diferencial sujeita as condições.
l d^2 yd x^2=x^1 / 3-5 ; f(1)=2 ; f^prime(1)=-8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem y''(x)=x^1/3-5 sujeita às condições y(1)=2 e y'(1)=-8. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de segunda ordem não homogênea com termo fonte conhecido, e vamos precisar usar integrações sucessivas e aplicar as condições iniciais para achar as constantes de integração.

Passo 2

Como sabemos da teoria, se y''(x) é dado, podemos obter y'(x) integrando uma vez e somando uma constante C1. Assim, integramos:
y'(x)=integrall(x^1/3-5r),dx=integral x^1/3,dx-integral5,dx=34x^4/3-5x+C1

Passo 3

Para achar y(x) basta integrar y'(x) e somar outra constante C2. Então:
y(x)=integrall(34x^4/3-5x+C1r)dx=34cdot37x^7/3-52x^2+C1x+C2=928x^7/3-52x^2+C1x+C2

Passo 4

Agora usamos a condição y'(1)=-8. Substituindo em y'(x)=tfrac34x^4/3-5x+C1 com x=1:
34cdot1^4/3-5cdot1+C1=-8Rightarrow34-5+C1=-8Rightarrow C1=-154

Passo 5

Por fim usamos y(1)=2. Substituindo em y(x)=tfrac928x^7/3-tfrac52x^2+C1x+C2 com x=1 e C1=-tfrac154:
928-52-154+C2=2

Passo 6

Resolvendo para C2: transformando em denominador 28,
928-7028-10528+C2=2Rightarrow -16628+C2=2Rightarrow C2=2+16628=56+16628=22228=11114

Resposta

A solução da EDO com as condições dadas é
y(x)=928,x^7/3-52,x^2-154,x+11114

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