Expresse a integral
como uma integral iterada de seis formas diferentes, em que
é a caixa retangular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever a integral tripla $ \iiint_{E} f(x, y, z) , dV $ como uma integral iterada de seis maneiras diferentes. O domínio $ E $ é uma caixa retangular definida por $ -5 \leq x \leq 3 $, $ 0 \leq y \leq 2 $ e $ 1 \leq z \leq 7 $. Para resolver, precisamos entender como configurar uma integral tripla usando diferentes ordens de integração (ou seja, a ordem em que integramos em relação a $ x $, $ y $ e $ z $).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral tripla pode ser escrita como integrais iteradas, escolhendo a ordem dos integrais. As seis possíveis ordens para $ x $, $ y $ e $ z $ são:
- $ dx , dy , dz $
- $ dx , dz , dy $
- $ dy , dx , dz $
- $ dy , dz , dx $
- $ dz , dx , dy $
- $ dz , dy , dx $
Vamos montar cada uma dessas formas.
Passo 3
1. Ordem $ dx , dy , dz $:
A gente integra primeiro em $ x $, depois em $ y $, e por último em $ z $.
Passo 4
2. Ordem $ dx , dz , dy $:
Aqui, a gente integra primeiro em $ x $, depois em $ z $, e por último em $ y $.
Passo 5
3. Ordem $ dy , dx , dz $:
Primeiro integramos em $ y $, depois em $ x $, e por último em $ z $.
Passo 6
4. Ordem $ dy , dz , dx $:
Aqui, a gente integra primeiro em $ y $, depois em $ z $, e por último em $ x $.
Passo 7
5. Ordem $ dz , dx , dy $:
Primeiro integramos em $ z $, depois em $ x $, e por último em $ y $.
Passo 8
6. Ordem $ dz , dy , dx $:
Aqui, a gente integra primeiro em $ z $, depois em $ y $, e por último em $ x $.
Resposta
As seis formas diferentes da integral iterada são:
- $ \int_{1}^{7} \int_{0}^{2} \int_{-5}^{3} f(x, y, z) , dx , dy , dz $
- $ \int_{0}^{2} \int_{1}^{7} \int_{-5}^{3} f(x, y, z) , dx , dz , dy $
- $ \int_{1}^{7} \int_{-5}^{3} \int_{0}^{2} f(x, y, z) , dy , dx , dz $
- $ \int_{-5}^{3} \int_{1}^{7} \int_{0}^{2} f(x, y, z) , dy , dz , dx $
- $ \int_{0}^{2} \int_{-5}^{3} \int_{1}^{7} f(x, y, z) , dz , dx , dy $
- $ \int_{-5}^{3} \int_{0}^{2} \int_{1}^{7} f(x, y, z) , dz , dy , dx $