Expresse a integral integralegral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis formas diferentes, em que E é a caixa retangular E=(x, y, z) in R^3 ;-5 <= x <= 3,0 <= y <= 2,1 <= z <= 7.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever a integral tripla $ \iiint_{E} f(x, y, z) , dV $ como uma integral iterada de seis maneiras diferentes. O domínio $ E $ é uma caixa retangular definida por $ -5 \leq x \leq 3 $, $ 0 \leq y \leq 2 $ e $ 1 \leq z \leq 7 $. Para resolver, precisamos entender como configurar uma integral tripla usando diferentes ordens de integração (ou seja, a ordem em que integramos em relação a $ x $, $ y $ e $ z $).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral tripla pode ser escrita como integrais iteradas, escolhendo a ordem dos integrais. As seis possíveis ordens para $ x $, $ y $ e $ z $ são:
  1. $ dx , dy , dz $
  2. $ dx , dz , dy $
  3. $ dy , dx , dz $
  4. $ dy , dz , dx $
  5. $ dz , dx , dy $
  6. $ dz , dy , dx $
Vamos montar cada uma dessas formas.

Passo 3

1. Ordem $ dx , dy , dz $:
A gente integra primeiro em $ x $, depois em $ y $, e por último em $ z $.
dx , dy , dz

Passo 4

2. Ordem $ dx , dz , dy $:
Aqui, a gente integra primeiro em $ x $, depois em $ z $, e por último em $ y $.
dx , dz , dy

Passo 5

3. Ordem $ dy , dx , dz $:
Primeiro integramos em $ y $, depois em $ x $, e por último em $ z $.
dy , dx , dz

Passo 6

4. Ordem $ dy , dz , dx $:
Aqui, a gente integra primeiro em $ y $, depois em $ z $, e por último em $ x $.
dy , dz , dx

Passo 7

5. Ordem $ dz , dx , dy $:
Primeiro integramos em $ z $, depois em $ x $, e por último em $ y $.
dz , dx , dy

Passo 8

6. Ordem $ dz , dy , dx $:
Aqui, a gente integra primeiro em $ z $, depois em $ y $, e por último em $ x $.
dz , dy , dx

Resposta

As seis formas diferentes da integral iterada são:
  1. $ \int_{1}^{7} \int_{0}^{2} \int_{-5}^{3} f(x, y, z) , dx , dy , dz $
  2. $ \int_{0}^{2} \int_{1}^{7} \int_{-5}^{3} f(x, y, z) , dx , dz , dy $
  3. $ \int_{1}^{7} \int_{-5}^{3} \int_{0}^{2} f(x, y, z) , dy , dx , dz $
  4. $ \int_{-5}^{3} \int_{1}^{7} \int_{0}^{2} f(x, y, z) , dy , dz , dx $
  5. $ \int_{0}^{2} \int_{-5}^{3} \int_{1}^{7} f(x, y, z) , dz , dx , dy $
  6. $ \int_{-5}^{3} \int_{0}^{2} \int_{1}^{7} f(x, y, z) , dz , dy , dx $

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