Expresse a integral iterada como uma integral dupla em coordenadas polares:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
e pede para reescrevê-la como integral dupla em coordenadas polares. Vamos usar a mudança de variáveis
e determinar a região
em termos de
e
.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas a região
é
Geometricamente é a parte do primeiro quadrante entre o círculo
x^2+y^2=1 (onde
y=raiz1-x^2 ) e a reta
y=x , recortada à direita pela reta vertical
x=1 .
Passo 3
Traduzindo cada fronteira para polares:
- do círculo
obtém-sex^2+y^2=1
;;r=1 - da reta
vemy=x
;;theta=pi/4 - da reta vertical
vemx=1
;;rcostheta=1implies r=1/costheta - e a condição
fica redundante sempre quex>=raiz2/2 er>=1 , pois então0<=theta<=pi/4
.x=rcostheta>=costheta>=raiz2/2
Passo 4
Logo em coordenadas polares a região é
O integrando
1raizx^2+y^2=1r
e o jacobianor,dr,dtheta se combinam em integrando
1 . Assim a integral dupla em polares fica
e o jacobiano