Expresse a integral iterada como uma integral dupla em coordenadas polares:
integralraiz2 / 2^1 integralraiz1-x^2^x 1raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
integralraiz2/2^1integralraiz1-x^2^x1raizx^2+y^2,dy,dx
e pede para reescrevê-la como integral dupla em coordenadas polares. Vamos usar a mudança de variáveis
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
e determinar a região D em termos de r e theta.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas a região D é
D=l(x,y)m|raiz2/2<= x<=1,;raiz1-x^2<= y<= xl
Geometricamente é a parte do primeiro quadrante entre o círculo x^2+y^2=1 (onde y=raiz1-x^2) e a reta y=x, recortada à direita pela reta vertical x=1.

Passo 3

Traduzindo cada fronteira para polares:
  • do círculo x^2+y^2=1 obtém-se
    ;r=1;
  • da reta y=x vem
    ;theta=pi/4;
  • da reta vertical x=1 vem
    ;rcostheta=1implies r=1/costheta;
  • e a condição x>=raiz2/2 fica redundante sempre que r>=1 e 0<=theta<=pi/4, pois então
    x=rcostheta>=costheta>=raiz2/2.

Passo 4

Logo em coordenadas polares a região é
0<=theta<=pi/4, 1<= r<=1costheta=sectheta
O integrando
1raizx^2+y^2=1r
e o jacobiano r,dr,dtheta se combinam em integrando 1. Assim a integral dupla em polares fica
integral0^pi/4integral1^sectheta1;dr,dtheta

Resposta

integral0^pi/4integral1^secthetadr,dtheta

Exercícios relacionados