Encontre a solução geral das equaçōes diferencias abaixo:
y^prime-4x y=-2x^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem.
Temos
y' - 4xy = -2x^2
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, apropriado para equações do tipo y' + P(x)y = Q(x).

Passo 2

Reescrevendo no formato padrão identificamos
P(x) = -4x, Q(x) = -2x^2
O fator integrante é dado por
mu(x) = exp!gl(integral P(x),dxgr) = exp!l(integral -tfrac4x,dxr) = exp(-4ln|x|) = x^-4

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^-4, obtendo
x^-4y' - 4x,x^-4y = -2x^2,x^-4
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^-4y, logo
ddxl(x^-4yr) = -2x^-6

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
x^-4y = integral -2x^-6,dx = -2 integral x^-6,dx = -2cdotx^-5-5 + C = 25,x^-5 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Para isolar y, multiplicamos por x^4:
y = x^4l(25,x^-5 + Cr) = 25,x^-1 + C,x^4

Resposta

y = C,x^4 + 25,x^-1,
com C constante arbitrária.

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