Dada a integral:
.
Reescreva a integral, convertendo para coordenadas esféricas.
Reescreva a integral, convertendo para coordenadas esféricas.
Passo 1
A integral dada é uma integral tripla de
sobre a região descrita pelos limites
,
e
. O conteúdo envolve mudança de variáveis para coordenadas esféricas e uso do jacobiano das esféricas.
Passo 2
O domínio de integração descrito pelos limites em
é exatamente a bola de raio 1 centrada na origem, pois satisfaz
. Em coordenadas esféricas definimos:
Em coordenadas esféricas usamos as substituições
Em coordenadas esféricas usamos as substituições
Passo 3
A função que estamos integrando é
, e o elemento de volume vira
. Logo o integrando se torna
.
Passo 4
Os limites em esféricas para a bola de raio 1 são:
de 0 a 1,
de 0 a
e
de 0 a
. Assim podemos montar a integral em esféricas.