Dada a integral: integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2 raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x.
Reescreva a integral, convertendo para coordenadas esféricas.

Passo 1

A integral dada é uma integral tripla de raizx^2+y^2+z^2 sobre a região descrita pelos limites -1<= x<=1, -raiz1-x^2<= y<=raiz1-x^2 e -raiz1-x^2-y^2<= z<=raiz1-x^2-y^2. O conteúdo envolve mudança de variáveis para coordenadas esféricas e uso do jacobiano das esféricas.

Passo 2

O domínio de integração descrito pelos limites em x,y,z é exatamente a bola de raio 1 centrada na origem, pois satisfaz x^2+y^2+z^2<=1. Em coordenadas esféricas definimos:
Em coordenadas esféricas usamos as substituições
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,

Passo 3

A função que estamos integrando é raizx^2+y^2+z^2=rho, e o elemento de volume vira dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Logo o integrando se torna rhocdotrho^2sinphi=rho^3sinphi.

Passo 4

Os limites em esféricas para a bola de raio 1 são: rho de 0 a 1, phi de 0 a pi e theta de 0 a 2pi. Assim podemos montar a integral em esféricas.

Resposta

integral0^2piintegral0^piintegral0^1rho^3sinphi,drho,dphi,dtheta

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