Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Recebemos um exercício que pede para fazer o esboço da região delimitada pelas curvas $ y = x - 1 $ e $ y^{2} = 2x + 6 $, e também calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral para resolver isso. Precisaremos desenhar as curvas para entender como elas se interseccionam e, depois, usar integrais para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o formato das curvas. A equação $ y = x - 1 $ é uma reta com inclinação 1 e intercepta o eixo y em -1. Já a equação $ y^{2} = 2x + 6 $ representa uma parábola aberta para a direita.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Para isso, substituímos $ y $ da primeira equação na segunda:
Passo 4
Expandindo a equação:
Levamos tudo para um lado da equação:
Passo 5
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para $ x $:
Passo 6
Agora, encontramos os valores correspondentes de $ y $ substituindo $ x $ nas equações originais:
Para $ x = 5 $:
Para $ x = -1 $:
Portanto, os pontos de interseção são $ (5, 4) $ e $ (-1, -2) $.
Passo 7
Vamos esboçar as curvas:
- Reta $ y = x - 1 $: passa pelos pontos onde $ x = 0 $ dá $ y = -1 $ e $ x = 1 $ dá $ y = 0 $, subindo com inclinação 1.
- Parábola $ y^{2} = 2x + 6 $: reescrevendo, temos $ x = \frac{y^{2} - 6}{2} $, indicando que é uma parábola aberta para a direita, com vértice no ponto onde $ y = 0 $, ou seja, $ x = -3 $.
Passo 8
Com os pontos de interseção e as formas das curvas, identificamos que a região delimitada está entre $ x = -1 $ e $ x = 5 $. Para calcular a área, precisamos saber qual curva está acima da outra nesse intervalo.
Vamos comparar os valores de $ y $:
Para $ x $ entre -1 e 5, a reta $ y = x - 1 $ está acima da parábola $ y^{2} = 2x + 6 $ porque, para cada $ x $, a reta fornece um valor de $ y $ maior.
Passo 9
Agora, configuramos a integral para a área. A fórmula para a área entre duas curvas $ y = f(x) $ (superior) e $ y = g(x) $ (inferior) de $ a $ a $ b $ é:
No nosso caso, $ f(x) = x - 1 $ e precisamos expressar $ g(x) $ em termos de $ x $.
A parábola $ y^{2} = 2x + 6 $ resolve para $ y = \sqrt{2x + 6} $ e $ y = -\sqrt{2x + 6} $. Como estamos lidando com a parte inferior, usaremos $ y = -\sqrt{2x + 6} $.
Então, a área é:
Passo 10
Vamos calcular a integral:
Calculando a primeira integral:
Avaliada de -1 a 5:
Calculando a segunda integral:
Fazendo a substituição $ u = 2x + 6 $, então $ du = 2 dx $ ou $ dx = \frac{du}{2} $.
Quando $ x = -1 $, $ u = 2(-1) + 6 = 4 $
Quando $ x = 5 $, $ u = 2(5) + 6 = 16 $
Então,
Avaliando de 4 a 16:
Passo 11
Somando as duas partes da área:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas $ y = x - 1 $ e $ y^{2} = 2x + 6 $ é $ \frac{74}{3} $ unidades de área, aproximadamente 24,67.