Expresse a integral tripla
integral triplaD f(x, y, z) d V
como uma integral iterada e, em seguida, calcule o seu valor no caso em que f(x, y, z)=x y z e a região D é descrita por:
D:-raizy <= x <= raizy, 0 <= y <= 4,0 <= z <= 4-y.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício de cálculo integral múltiplo onde precisamos transformar uma integral tripla em uma integral iterada e, depois, calcular seu valor. A integral que vamos trabalhar é:
integral triplaD f(x, y, z) , dV
Aqui, a função é $ f(x, y, z) = xyz $ e a região $ D $ está definida por:
  • $ -\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y} $
  • $ 0 \leq y \leq 4 $
  • $ 0 \leq z \leq 4 - y $
Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e como realizar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região $ D $. O intervalo de $ y $ vai de 0 a 4. Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ -\sqrt{y} $ a $ \sqrt{y} $, formando uma faixa simétrica em torno do eixo $ y $. E para cada combinação de $ x $ e $ y $, $ z $ varia de 0 a $ 4 - y $. Isso define um volume no espaço tridimensional onde vamos calcular a integral.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral tripla como uma integral iterada. A ordem de integração que vamos usar é $ z $, depois $ x $ e por último $ y $. Então, a integral fica assim:
z

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a $ z $. A função dentro da integral é $ xyz $, então a integral em $ z $ fica:
z
A integral de $ z $ em relação a $ z $ é:
xyz
Então, avaliando de 0 a $ 4 - y $:
z

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
integral0^4 integral-raizy^raizy 12 xy (4 - y)^2 , dx , dy
Podemos simplificar retirando a constante $ \frac{1}{2} $:
12

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a $ x $:
x

Passo 7

Perceba que a integral em $ x $ resulta em zero. Então, todo o produto na integral principal também será zero. Portanto, a integral tripla completa é zero.

Resposta

O valor da integral tripla é $ 0 $.

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