Expresse a integral tripla
como uma integral iterada e, em seguida, calcule o seu valor no caso em que
e a região
é descrita por:
.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um exercício de cálculo integral múltiplo onde precisamos transformar uma integral tripla em uma integral iterada e, depois, calcular seu valor. A integral que vamos trabalhar é:
Aqui, a função é $ f(x, y, z) = xyz $ e a região $ D $ está definida por:
- $ -\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y} $
- $ 0 \leq y \leq 4 $
- $ 0 \leq z \leq 4 - y $
Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e como realizar a integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ D $. O intervalo de $ y $ vai de 0 a 4. Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ -\sqrt{y} $ a $ \sqrt{y} $, formando uma faixa simétrica em torno do eixo $ y $. E para cada combinação de $ x $ e $ y $, $ z $ varia de 0 a $ 4 - y $. Isso define um volume no espaço tridimensional onde vamos calcular a integral.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral tripla como uma integral iterada. A ordem de integração que vamos usar é $ z $, depois $ x $ e por último $ y $. Então, a integral fica assim:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a $ z $. A função dentro da integral é $ xyz $, então a integral em $ z $ fica:
A integral de $ z $ em relação a $ z $ é:
Então, avaliando de 0 a $ 4 - y $:
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
Podemos simplificar retirando a constante $ \frac{1}{2} $:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a $ x $:
Passo 7
Perceba que a integral em $ x $ resulta em zero. Então, todo o produto na integral principal também será zero. Portanto, a integral tripla completa é zero.
Resposta
O valor da integral tripla é $ 0 $.