Expresse a integral tripla
integral triplaD f(x, y, z) d V
como uma integral iterada e, em seguida, calcule o seu valor no caso em que f(x, y, z)=x y z e a região D é descrita por:
D: 0 <= x <= z^2, x-z <= y <= x+z, 1 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para a gente transformar essa integral tripla
integral triplaD f(x, y, z) , dV
em uma integral iterada. Depois, vamos calcular o valor dela quando $ f(x, y, z) = xyz $ e a região $ D $ é definida por:
f(x, y, z) = xyz
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada variável e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral tripla e como transformá-la em uma iterada. A integral tripla permite calcular o volume de uma função em três dimensões. Para transformar em iterada, precisamos definir os limites de cada variável em relação às outras.
Aqui, as variáveis estão em ordem $ x $, $ y $ e $ z $. Vamos começar determinando os limites para $ z $, depois para $ x $ em função de $ z $, e por último para $ y $ em função de $ x $ e $ z $.

Passo 3

Sabemos que $ z $ varia de 1 a 2, então o limite externo da nossa integral será de $ z = 1 $ até $ z = 2 $.
Para cada valor de $ z $, $ x $ varia de 0 até $ z^{2} $. Isso define o limite médio da nossa integral.
Finalmente, para cada par $ (x, z) $, $ y $ varia de $ x - z $ até $ x + z $.
Então, nossa integral iterada fica assim:
z

Passo 4

Agora que temos a integral iterada, vamos calcular passo a passo. Vamos começar integrando em relação a $ y $:
Primeiro, calcule a integral interna:
y
Como $ x $ e $ z $ são constantes em relação a $ y $, podemos fatorar $ xz $:
integraly=x - z^x + z xyz , dy
Integrando $ y $ em relação a $ y $:
x
Simplificando:
z

Passo 5

Agora substituímos o resultado na integral seguinte:
integralz=1^2 integralx=0^z^2 2 x^2 z^2 , dx , dz
Vamos integrar em relação a $ x $:
x

Passo 6

Agora, sobra integrar em relação a $ z $:
z
Integrando $ z^{8} $:
integralz=1^2 2 z^83 , dz = 23 integral1^2 z^8 , dz

Resposta

O valor da integral tripla é $ \frac{1022}{27} $.

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