Expresse a integral tripla
como uma integral iterada e, em seguida, calcule o seu valor no caso em que
e a região
é descrita por:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para a gente transformar essa integral tripla
em uma integral iterada. Depois, vamos calcular o valor dela quando $ f(x, y, z) = xyz $ e a região $ D $ é definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada variável e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral tripla e como transformá-la em uma iterada. A integral tripla permite calcular o volume de uma função em três dimensões. Para transformar em iterada, precisamos definir os limites de cada variável em relação às outras.
Aqui, as variáveis estão em ordem $ x $, $ y $ e $ z $. Vamos começar determinando os limites para $ z $, depois para $ x $ em função de $ z $, e por último para $ y $ em função de $ x $ e $ z $.
Passo 3
Sabemos que $ z $ varia de 1 a 2, então o limite externo da nossa integral será de $ z = 1 $ até $ z = 2 $.
Para cada valor de $ z $, $ x $ varia de 0 até $ z^{2} $. Isso define o limite médio da nossa integral.
Finalmente, para cada par $ (x, z) $, $ y $ varia de $ x - z $ até $ x + z $.
Então, nossa integral iterada fica assim:
Passo 4
Agora que temos a integral iterada, vamos calcular passo a passo. Vamos começar integrando em relação a $ y $:
Primeiro, calcule a integral interna:
Como $ x $ e $ z $ são constantes em relação a $ y $, podemos fatorar $ xz $:
Integrando $ y $ em relação a $ y $:
Simplificando:
Passo 5
Agora substituímos o resultado na integral seguinte:
Vamos integrar em relação a $ x $:
Passo 6
Agora, sobra integrar em relação a $ z $:
Integrando $ z^{8} $:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \frac{1022}{27} $.