Investigue as seguintes integrais impróprias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma integral imprópria para investigar:
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais impróprias que têm limites infinitos. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender como avaliar limites para determinar se a integral converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que o limite superior da integral é
, o que caracteriza uma integral imprópria. Nosso objetivo é ver se essa integral tem um valor finito (converge) ou não (diverge).
Passo 3
Vamos simplificar a integral usando uma substituição que facilite a integração. Vamos escolher:
Isso porque temos
na expressão e a derivada de
é
, que também está presente no denominador.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
Isso nos dá:
Agora, substituímos na integral original:
Passo 5
Precisamos ajustar os limites de integração para a variável
. Quando
:
E quando
tende a
:
Então, a integral agora fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar
. Sabemos que:
Aplicando isso aos limites de 1 a
:
Resposta
A integral converge e seu valor é 1.