Investigue as seguintes integrais impróprias.
integrale^+infty d xx(ln (x))^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma integral imprópria para investigar:
integrale^+infty dxx(ln x)^2
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais impróprias que têm limites infinitos. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender como avaliar limites para determinar se a integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o limite superior da integral é +infty, o que caracteriza uma integral imprópria. Nosso objetivo é ver se essa integral tem um valor finito (converge) ou não (diverge).

Passo 3

Vamos simplificar a integral usando uma substituição que facilite a integração. Vamos escolher:
u = ln x
Isso porque temos ln x na expressão e a derivada de ln x é 1x, que também está presente no denominador.

Passo 4

Calculando a derivada de u em relação a x:
du = 1x dx
Isso nos dá:
dxx = du
Agora, substituímos na integral original:
integral dxx(ln x)^2 = integral duu^2

Passo 5

Precisamos ajustar os limites de integração para a variável u. Quando x = e:
u = ln e = 1
E quando x tende a +infty:
u = ln(+infty) = +infty
Então, a integral agora fica:
integral1^+infty duu^2

Passo 6

Agora, vamos integrar 1u^2. Sabemos que:
integral 1u^2 du = -1u + C
Aplicando isso aos limites de 1 a +infty:
[-1u]1^+infty = (0 - (-11)) = 1

Resposta

A integral converge e seu valor é 1.

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