Expresse a integral tripla
como uma integral iterada e, em seguida, calcule o seu valor no caso em que
e a região
é descrita por:
.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um exercício que pede para a gente expressar uma integral tripla, que é basicamente uma soma acumulada em três dimensões, sobre uma região específica $ D $. A função que vamos integrar é $ f(x, y, z) = x y z $. A região $ D $ está definida pelos limites:
- $ 0 \leq x \leq 1 $
- $ x^{2} \leq y \leq 1 $
- $ 0 \leq z \leq x + y $
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas. Precisamos entender como transformar essa integral tripla em uma integral iterada, ou seja, uma sequência de integrais simples, e depois calcular o valor dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ D $ onde vamos integrar. Temos três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $, e cada uma tem seus próprios limites. Vamos visualizar isso para facilitar.
- Para $ x $, sabemos que varia de 0 a 1.
- Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ x^{2} $ a 1. Isso significa que, à medida que $ x $ aumenta, o limite inferior de $ y $ aumenta também.
- Finalmente, para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de 0 a $ x + y $.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral iterada. A integral tripla $ \iiint_{D} f(x, y, z) , dV $ pode ser escrita como uma sequência de integrais em $ z $, $ y $ e $ x $. Então, temos:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a $ z $. A função para integrar é $ x y z $, e os limites de $ z $ são de 0 a $ x + y $.
Primeiro, integraremos $ x y z $ em relação a $ z $:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ y $, com os limites de $ y $ de $ x^{2} $ a 1:
Para simplificar, podemos expandir $ (x + y)^{2} $:
Substituindo de volta na integral:
Agora, integramos termo a termo:
Passo 6
Vamos calcular a expressão dentro dos colchetes nos limites de $ y = 1 $ e $ y = x^{2} $:
Para $ y = 1 $:
Para $ y = x^{2} $:
Subtraindo as duas:
Multiplicando por $ \frac{x}{2} $:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a $ x $, no intervalo de 0 a 1:
Vamos distribuir o $ \frac{x}{2} $:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
Substituindo $ x = 1 $:
E $ x = 0 $ todos os termos são zero.
Passo 9
Vamos calcular os valores numéricos:
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 4320:
Substituindo:
Simplificando a fração:
Dividindo numerador e denominador por 6:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \frac{227}{1440} $.