Expresse a integral tripla
integral triplaD f(x, y, z) d V
como uma integral iterada e, em seguida, calcule o seu valor no caso em que f(x, y, z)=x y z e a região D é descrita por:
D:0 <= x <= 1, x^2 <= y <= 1,0 <= z <= x+y.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício que pede para a gente expressar uma integral tripla, que é basicamente uma soma acumulada em três dimensões, sobre uma região específica $ D $. A função que vamos integrar é $ f(x, y, z) = x y z $. A região $ D $ está definida pelos limites:
  • $ 0 \leq x \leq 1 $
  • $ x^{2} \leq y \leq 1 $
  • $ 0 \leq z \leq x + y $
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas. Precisamos entender como transformar essa integral tripla em uma integral iterada, ou seja, uma sequência de integrais simples, e depois calcular o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região $ D $ onde vamos integrar. Temos três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $, e cada uma tem seus próprios limites. Vamos visualizar isso para facilitar.
  • Para $ x $, sabemos que varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ x^{2} $ a 1. Isso significa que, à medida que $ x $ aumenta, o limite inferior de $ y $ aumenta também.
  • Finalmente, para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de 0 a $ x + y $.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral iterada. A integral tripla $ \iiint_{D} f(x, y, z) , dV $ pode ser escrita como uma sequência de integrais em $ z $, $ y $ e $ x $. Então, temos:
integral triplaD f(x, y, z) , dV

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a $ z $. A função para integrar é $ x y z $, e os limites de $ z $ são de 0 a $ x + y $.
Primeiro, integraremos $ x y z $ em relação a $ z $:
z

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ y $, com os limites de $ y $ de $ x^{2} $ a 1:
y
Para simplificar, podemos expandir $ (x + y)^{2} $:
y
Substituindo de volta na integral:
x^2
Agora, integramos termo a termo:
integralx^2^1 x y (x + y)^22 , dy

Passo 6

Vamos calcular a expressão dentro dos colchetes nos limites de $ y = 1 $ e $ y = x^{2} $:
Para $ y = 1 $:
y = 1
Para $ y = x^{2} $:
y = x^2
Subtraindo as duas:
y = 1
Multiplicando por $ \frac{x}{2} $:
x^2 (1)^22 + 2 x (1)^33 + (1)^44 = x^22 + 2 x3 + 14

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a $ x $, no intervalo de 0 a 1:
x
Vamos distribuir o $ \frac{x}{2} $:
integral0^1 x2 ( x^22 + 2 x3 + 14 - x^62 - 2 x^73 - x^84 ) dx

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
12 [ x^48 + 2 x^39 + x^28 - x^816 - 2 x^927 - x^1040 ]0^1
Substituindo $ x = 1 $:
x = 1
E $ x = 0 $ todos os termos são zero.

Passo 9

Vamos calcular os valores numéricos:
12 ( 18 + 29 + 18 - 116 - 227 - 140 ) = 12 ( 14 + 29 - 116 - 227 - 140 )
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 4320:
14 = 10804320, 29 = 9604320, 116 = 2704320, 227 = 3204320, 140 = 1084320
Substituindo:
12 ( 1080 + 960 - 270 - 320 - 1084320 ) = 12 ( 13624320 ) = 13628640
Simplificando a fração:
Dividindo numerador e denominador por 6:
2271440

Resposta

O valor da integral tripla é $ \frac{227}{1440} $.

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