Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área.
y=e^x, y=e^-x, x=0 e x=2 ln (2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos desenhar (esboçar) a região que é delimitada pelas curvas $ y = e^{x} $, $ y = e^{-x} $, $ x = 0 $ e $ x = 2 \ln(2) $. Além disso, precisamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções exponenciais e integração para encontrar a área entre as curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar cada uma das curvas envolvidas:
  1. $ y = e^{x} $: Esta é a função exponencial crescente. Conforme $ x $ aumenta, $ y $ cresce rapidamente.
  2. $ y = e^{-x} $: Esta é a função exponencial decrescente. Conforme $ x $ aumenta, $ y $ diminui.
  3. $ x = 0 $: Esta é a linha vertical no eixo $ y $, ou seja, o próprio eixo $ y $.
  4. $ x = 2 \ln(2) $: Esta é outra linha vertical, localizada em $ x = 2 \ln(2) $.

Passo 3

Vamos identificar os pontos de interseção entre as curvas $ y = e^{x} $ e $ y = e^{-x} $.
Igualando as duas funções:
y = e^x
Para resolver, podemos tomar o logaritmo natural dos dois lados:
y = e^-x
Somando $ x $ em ambos os lados:
e^x = e^-x
Portanto, as duas curvas se intersectam quando $ x = 0 $. Nesse ponto, $ y = e^{0} = 1 $.

Passo 4

Agora, vamos identificar os limites da região. As curvas estão entre $ x = 0 $ e $ x = 2 \ln(2) $. Vamos calcular os valores de $ y $ nessas pontas:
Para $ x = 0 $:
x = 0
Para $ x = 2 \ln(2) $:
x = 2 ln(2)
y

Passo 5

Com essas informações, podemos esboçar a região:
  • A curva $ y = e^{x} $ passa por (0,1) e cresce até (2 ln2, 4).
  • A curva $ y = e^{-x} $ passa por (0,1) e decresce até (2 ln2, 1/4).
  • As linhas verticais $ x = 0 $ e $ x = 2 \ln(2) $ delimitam a região no eixo $ x $.
A região fica assim entre as duas curvas, desde $ x = 0 $ até $ x = 2 \ln(2) $.

Passo 6

Para calcular a área da região, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 2 \ln(2) $.
Primeiro, identificamos qual função está acima da outra nesse intervalo:
Para $ x > 0 $:
x = 0
Portanto, a função superior é $ y = e^{x} $ e a inferior é $ y = e^{-x} $.

Passo 7

A fórmula para a área $ A $ entre duas curvas $ f(x) $ e $ g(x) $ de $ a $ a $ b $ é:
A
Aplicando aos nossos limites e funções:
f(x)

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos $ e^{x} $ e $ e^{-x} $ separadamente:
e^x
e^-x
Portanto:
integral e^x , dx = e^x + C
integral e^-x , dx = -e^-x + C

Passo 9

Calculando os valores:
Sabemos que $ e^{2 \ln(2)} = 4 $ e $ e^{-2 \ln(2)} = \frac{1}{4} $. Além disso, $ e^{0} = 1 $.
Então:
e^2 ln(2) = 4
e^-2 ln(2) = 14
e^0 = 1

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{9}{4} $ unidades quadradas.

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