Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área.
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos desenhar (esboçar) a região que é delimitada pelas curvas $ y = e^{x} $, $ y = e^{-x} $, $ x = 0 $ e $ x = 2 \ln(2) $. Além disso, precisamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções exponenciais e integração para encontrar a área entre as curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar cada uma das curvas envolvidas:
- $ y = e^{x} $: Esta é a função exponencial crescente. Conforme $ x $ aumenta, $ y $ cresce rapidamente.
- $ y = e^{-x} $: Esta é a função exponencial decrescente. Conforme $ x $ aumenta, $ y $ diminui.
- $ x = 0 $: Esta é a linha vertical no eixo $ y $, ou seja, o próprio eixo $ y $.
- $ x = 2 \ln(2) $: Esta é outra linha vertical, localizada em $ x = 2 \ln(2) $.
Passo 3
Vamos identificar os pontos de interseção entre as curvas $ y = e^{x} $ e $ y = e^{-x} $.
Igualando as duas funções:
Para resolver, podemos tomar o logaritmo natural dos dois lados:
Somando $ x $ em ambos os lados:
Portanto, as duas curvas se intersectam quando $ x = 0 $. Nesse ponto, $ y = e^{0} = 1 $.
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites da região. As curvas estão entre $ x = 0 $ e $ x = 2 \ln(2) $. Vamos calcular os valores de $ y $ nessas pontas:
Para $ x = 0 $:
Para $ x = 2 \ln(2) $:
Passo 5
Com essas informações, podemos esboçar a região:
- A curva $ y = e^{x} $ passa por (0,1) e cresce até (2 ln2, 4).
- A curva $ y = e^{-x} $ passa por (0,1) e decresce até (2 ln2, 1/4).
- As linhas verticais $ x = 0 $ e $ x = 2 \ln(2) $ delimitam a região no eixo $ x $.
A região fica assim entre as duas curvas, desde $ x = 0 $ até $ x = 2 \ln(2) $.
Passo 6
Para calcular a área da região, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 2 \ln(2) $.
Primeiro, identificamos qual função está acima da outra nesse intervalo:
Para $ x > 0 $:
Portanto, a função superior é $ y = e^{x} $ e a inferior é $ y = e^{-x} $.
Passo 7
A fórmula para a área $ A $ entre duas curvas $ f(x) $ e $ g(x) $ de $ a $ a $ b $ é:
Aplicando aos nossos limites e funções:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos $ e^{x} $ e $ e^{-x} $ separadamente:
Portanto:
Passo 9
Calculando os valores:
Sabemos que $ e^{2 \ln(2)} = 4 $ e $ e^{-2 \ln(2)} = \frac{1}{4} $. Além disso, $ e^{0} = 1 $.
Então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{9}{4} $ unidades quadradas.