Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada nas ordens indicadas, sendo E o sólido limitado pelas superfícies dadas:
z=4-y^2, y=2 x, z=0 e x=0, ordens: d z d y d x, d x d z d y e d y d z d x.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral tripla integral triplaE f(x,y,z),dV em três ordens de integração diferentes: dz,dy,dx, dx,dz,dy e dy,dz,dx. Aqui a região E é limitada por z=0, z=4-y^2, x=0 e y=2x. Vamos trabalhar em coordenadas cartesianas e encontrar as projeções necessárias para determinar os limites em cada ordem.

Passo 2

Para a ordem dz,dy,dx fazemos primeiro a projeção no plano xy. Da condição z>=0 e z<=4-y^2 vem y^2<=4, ou seja 0<= y<=2. Da reta y=2x e x>=0 segue 0<= x<= y/2. Mas como queremos dz,dy,dx, escolhemos x de 0 a 1 (pois em y=2x o máximo de x é 1 quando y=2), depois y de 2x a 2 e finalmente z de 0 a 4-y^2.

Passo 3

Para a ordem dx,dz,dy projetamos no plano yz. Aqui y vai de 0 a 2 (mesmo motivo anterior) e, para cada y, z varia de 0 a 4-y^2. Por fim, para cada y,z a condição 0<= x<= y/2 vale sem depender de z.

Passo 4

Para a ordem dy,dz,dx usamos a projeção no plano xz. Vemos que para cada x em [0,1] (pois y=2x só atinge y=2 quando x=1), z deve satisfazer 0<= z<=4-(2x)^2=4-4x^2. E, para cada (x,z), o y fica entre a reta y=2x (limite inferior) e o topo dado por y=raiz4-z (limite superior).

Resposta

As integrais iteradas nas ordens pedidas são
integralx=0^1integraly=2x^2integralz=0^4-y^2 f(x,y,z),dz,dy,dx,
integraly=0^2integralz=0^4-y^2integralx=0^y/2 f(x,y,z),dx,dz,dy,
integralx=0^1integralz=0^4-4x^2integraly=2x^raiz4-z f(x,y,z),dy,dz,dx

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