Expresse a integral
como uma integral iterada nas ordens indicadas, sendo
o sólido limitado pelas superfícies dadas:
e
ordens:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a integral tripla
em três ordens de integração diferentes:
,
e
. Aqui a região
é limitada por
,
,
e
. Vamos trabalhar em coordenadas cartesianas e encontrar as projeções necessárias para determinar os limites em cada ordem.
Passo 2
Para a ordem
fazemos primeiro a projeção no plano
. Da condição
e
vem
, ou seja
. Da reta
e
segue
. Mas como queremos
, escolhemos
de 0 a 1 (pois em
o máximo de
é 1 quando
), depois
de
a 2 e finalmente
de 0 a
.
Passo 3
Para a ordem
projetamos no plano
. Aqui
vai de 0 a 2 (mesmo motivo anterior) e, para cada
,
varia de 0 a
. Por fim, para cada
a condição
vale sem depender de
.
Passo 4
Para a ordem
usamos a projeção no plano
. Vemos que para cada
em
(pois
só atinge
quando
),
deve satisfazer
. E, para cada
, o
fica entre a reta
(limite inferior) e o topo dado por
(limite superior).
Resposta
As integrais iteradas nas ordens pedidas são