Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada nas ordens indicadas, sendo E o sólido limitado pelas superfícies dadas:
y=4-x^2-4 z^2 e y=0, ordens: d z d x d y, d y d x d z e d x d y d z.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos escrever a integral tripla integral triplaE f(x,y,z),dV para o sólido E limitado pelas superfícies y=0 e y=4-x^2-4z^2. O objetivo é encontrar, para cada ordem de integração dada, os limites de cada variável.
Descrição geral de E: de y=0 até y=4 - x^2 -4z^2. Assim, o par (x,z) varia na região x^2+4z^2<=4, que é uma elipse no plano xz. Para cada ordem, projetamos E no plano das duas variáveis externas e depois determinamos o intervalo da variável interna.

Passo 2

Ordem dz,dx,dy: a variável mais externa é yin[0,4]. Para cada y fixo, x^2<=4-y, logo xin[-raiz4-y,raiz4-y]. Finalmente, para (x,y) fixos, z^2<=(4-y-x^2)/4, ou seja:
-raiz4-y-x^24<= z<=raiz4-y-x^24

Passo 3

Ordem dy,dx,dz: a variável mais externa é zin[-1,1], pois 4z^2<=4. Para cada z fixo, x^2<=4-4z^2, logo xin[-raiz4-4z^2,raiz4-4z^2]. Para (x,z) fixos, yin[0,4-x^2-4z^2].

Passo 4

Ordem dx,dy,dz: a variável mais externa é zin[-1,1]. Para cada z fixo, a projeção em y é 0<= y<=4-4z^2. Para (y,z) fixos, x^2<=4-y-4z^2, logo
-raiz4-y-4z^2<= x<=raiz4-y-4z^2

Resposta

Ordem dz,dx,dy:
integral triplaE f(x,y,z),dV = integraly=0^4integralx=-raiz4-y^raiz4-yintegralz=-raiz4-y-x^24^raiz4-y-x^24f(x,y,z),dz,dx,dy
Ordem dy,dx,dz:
integral triplaE f(x,y,z),dV = integralz=-1^1integralx=-raiz4-4z^2^raiz4-4z^2integraly=0^4-x^2-4z^2f(x,y,z),dy,dx,dz
Ordem dx,dy,dz:
integral triplaE f(x,y,z),dV = integralz=-1^1integraly=0^4-4z^2integralx=-raiz4-y-4z^2^raiz4-y-4z^2f(x,y,z),dx,dy,dz

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