Determine a medida do volume do sólido delimitado pelos gráficos das equap̧ões 4, y=4-x^2, x+y=2 e z=0

Passo 1

A região sólida é delimitada pelas superfícies z=0 (base), z=4 (teto), o cilindro parabólico y=4 - x^2 e o plano x + y = 2. Vamos usar integração dupla sobre a projeção no plano xy e depois multiplicar pela altura em z.

Passo 2

Precisamos determinar a projeção D do sólido no plano xy. São as curvas de contorno dadas por y=4 - x^2 e y=2 - x. A interseção ocorre resolvendo
4 - x^2 = 2 - x que leva a
x^2 - x - 2 = 0 Longrightarrow x = 1 pm 32 = 2 ou -1

Passo 3

Logo, na projeção D temos x variando de -1 a 2, e para cada x, y varia de y = 2 - x (linha) até y = 4 - x^2 (parábola).
A área de D é dada por
integral duplaD dA = integralx=-1^2 l[(4 - x^2) - (2 - x)r] ,dx = integral-1^2 (-x^2 + x + 2) ,dx

Passo 4

Agora calculamos a integral:
integral (-x^2 + x + 2) ,dx = -x^33 + x^22 + 2x
Avaliaremos de x=-1 a x=2:
l(-tfrac2^33 + tfrac2^22 + 2cdot2r) - l(-tfrac(-1)^33 + tfrac(-1)^22 + 2cdot(-1)r) = 103 - l(-tfrac76r) = 276 = 92

Passo 5

Como o sólido tem altura constante em z de 0 a 4, o volume é
V = l(área de Dr) times 4 = 92 times 4 = 18á

Resposta

18

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