Verifique se para a integral
é necessário inverter a ordem
Io. Em caso afirmativo, calcule a integral
Io. Em caso afirmativo, calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para verificar se vale a pena inverter a ordem de integração na integral dupla
O conteúdo é mudança da ordem de integração em integrais duplas e vamos usar geometria da região no plano xy para reescrever I como uma única integral em x.
Passo 2
Observamos que o integrando
não depende de
, então invertemos a ordem e integramos primeiro em
. A região é
Para cada
Passo 3
Em função de
, há dois intervalos:
- Se
, então , e . - Se
, então , e .
Passo 4
Fazendo a integral em
primeiro, obtemos
As integrais internas em
são triviais:
e
.
Passo 5
Portanto a integral vira
Esta forma mostra claramente que integramos primeiro em
e reduzimos tudo a integrais em
.
Passo 6
Para calcular de fato essas integrais em
usamos a substituição
, que leva a integrais incompletas do tipo
que são expressas em termos da função gama incompleta.
Depois de trabalhar cuidadosamente as constantes e limites (em particular
Passo 7
O resultado fechado é
onde:
-
é a gama incompleta inferior, -
é a gama incompleta superior.
Passo 8
Esse é o valor exato da integral em forma fechada usando funções especiais, mostrando que sim, foi necessário inverter a ordem e que a integral final se expressa em termos de funções gama incompletas.