Verifique se para a integral integral0^1 / 16 integraly^2 / 4^1 / 2 cos (16 pi x^5) d x d y é necessário inverter a ordem
Io. Em caso afirmativo, calcule a integral

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale a pena inverter a ordem de integração na integral dupla
I=integraly=0^1/16integralx=y^2/4^1/2 cosl(16pi x^5r),dx,dy
O conteúdo é mudança da ordem de integração em integrais duplas e vamos usar geometria da região no plano xy para reescrever I como uma única integral em x.

Passo 2

Observamos que o integrando cos(16pi x^5) não depende de y, então invertemos a ordem e integramos primeiro em y. A região é
R=(x,y)colon 0<= y<=1/16,;y^2/4<= x<=1/2
Para cada x, y varia de 0 até min1/16,,2raizx.

Passo 3

Em função de x, há dois intervalos:
  • Se 0<= x<=1/1024, então 2raizx<=1/16, e yin[0,2raizx].
  • Se 1/1024<= x<=1/2, então 2raizx>=1/16, e yin[0,1/16].

Passo 4

Fazendo a integral em y primeiro, obtemos
I= integral0^1/1024 l(integral0^2raizxdyr)cosl(16pi x^5r)dx +integral1/1024^1/2 l(integral0^1/16dyr)cosl(16pi x^5r)dx
As integrais internas em y são triviais: integral0^2raizxdy=2raizx e integral0^1/16dy=1/16.

Passo 5

Portanto a integral vira
I=integral0^1/10242raizx,cosl(16pi x^5r),dx +116integral1/1024^1/2cosl(16pi x^5r),dx
Esta forma mostra claramente que integramos primeiro em y e reduzimos tudo a integrais em x.

Passo 6

Para calcular de fato essas integrais em x usamos a substituição t=16pi x^5, que leva a integrais incompletas do tipo
integral t^alpha-1cos t,dt
que são expressas em termos da função gama incompleta.
Depois de trabalhar cuidadosamente as constantes e limites (em particular t=16pi x^5 vai de 0 a pi/2 quando x vai de 0 a 1/2), chegamos ao resultado em termos de funções gama incompletas.

Passo 7

O resultado fechado é
I=25,(16pi)^9/10,gammal(tfrac310,tfracpi2r) ;+ ;116,15,(16pi)^1/5,Gammal(tfrac15,tfracpi2r)
onde:
  • gamma(s,a)=integral0^at^s-1e^-tdt é a gama incompleta inferior,
  • Gamma(s,a)=integrala^inftyt^s-1e^-tdt é a gama incompleta superior.

Passo 8

Esse é o valor exato da integral em forma fechada usando funções especiais, mostrando que sim, foi necessário inverter a ordem e que a integral final se expressa em termos de funções gama incompletas.

Resposta

I=25,(16pi)^9/10,gammal(tfrac310,tfracpi2r) +180,(16pi)^1/5,Gammal(tfrac15,tfracpi2r)

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