Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada nas ordens indicadas, sendo E o sólido limitado pelas superfícies dadas:
x=2, y=2, z=0 e x+y-2 z=2, ordens: d y d x d z, d x d z d y e d z d x d y.

Passo 1

Temos a integral tripla integral triplaEf(x,y,z),dV, onde E é o sólido limitado pelos planos x=2, y=2, z=0 e x+y-2z=2. O objetivo é escrever essa integral nas ordens dy,dx,dz, dx,dz,dy e dz,dx,dy. Precisamos identificar a projeção de E nos planos coordenados e determinar os limites de cada variável.

Passo 2

Para descrever geometricamente E, isolamos z no plano x+y-2z=2, obtendo z=(x+y-2)/2. Como z>=0, requeremos x+y>=2. Além disso x<=2 e y<=2. A projeção de E no plano xy é o triângulo (x,y):0<= x<=2,;0<= y<=2,;x+y>=2.

Passo 3

Na ordem dy,dx,dz: fixamos z em [0,1] (pois no vértice (2,2) temos z=(2+2-2)/2=1), para cada z, x varia de 2z a 2 (devido a x+y>=2+2z e y<=2), e para cada (x,z), y varia de 2+2z-x a 2. Assim obtemos

Passo 4

Na ordem dx,dz,dy: projetando em yz, para cada yin[0,2] temos zin[0,y/2] (pois x<=2 e x>=2+2z-y implica z<= y/2), e para cada (y,z), x varia de 2+2z-y a 2. Logo

Passo 5

Na ordem dz,dx,dy: projetando em xy, para cada yin[0,2], x varia de 2-y a 2 (pois x+y>=2), e para cada (x,y), z varia de 0 a (x+y-2)/2. Assim

Resposta

As três expressões iteradas são:

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