Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:
d^2 yd t^2+2 d yd t+y=e^t l y(0)=1 y^prime(0)=-3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
d^2 yd t^2 + 2 d yd t + y = e^t
E tem duas condições iniciais:
y(0) = 1 e y^prime(0) = -3
O conteúdo que vamos usar aqui é o das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea correspondente ( ) mais uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
d^2 yd t^2 + 2 d yd t + y = 0
Para isso, assumimos que a solução tem a forma r^2 e^rt + 2 r e^rt + e^rt = 0 . Substituindo na equação, temos:
r^2 + 2 r + 1 = 0
Dividindo todos os termos por r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 = -2 pm raiz4 - 42 = -22 = -1 (que nunca é zero):
yh(t) = (C1 + C2 t) e^-t
Essa é a equação característica. Vamos resolver:
Como temos uma raiz real dupla ( ), a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( d^2 yd t^2 + 2 d yd t + y = e^t ) para a equação completa:
yp(t) = A e^t
Como o lado direito é yp' = A e^t , tentamos uma solução particular da forma:
yp'' = A e^t
Onde A e^t + 2 A e^t + A e^t = e^t é uma constante a ser encontrada. Vamos substituir (1A + 2A + 1A) e^t = e^t na equação diferencial:
Prime, calculemos as derivadas:
4A e^t = e^t
4A = 1 implies A = 14
Substituindo na equação:
yp(t) = 14 e^t
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t) e^-t + 14 e^t
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar y(0) = (C1 + C2 cdot 0) e^0 + 14 e^0 = C1 + 14 = 1 e C1 = 1 - 14 = 34 .
Primeiro, aplicamos y'(t) = ddt [ (C1 + C2 t) e^-t ] + ddt ( 14 e^t ) :
= C2 e^-t + (C1 + C2 t)(-e^-t) + 14 e^t
= (C2 - C1 - C2 t) e^-t + 14 e^t
Agora, calculamos a derivada de y'(0) = (C2 - C1 - C2 cdot 0) e^0 + 14 e^0 = C2 - C1 + 14 = -3 :
C2 - 34 + 14 = -3
C2 - 24 = -3
C2 - 12 = -3
Agora, aplicamos C2 = -3 + 12 = -52 :

Resposta

Substituindo y(t) = ( 34 - 52 t ) e^-t + 14 e^t e y(t) = ( 34 - 52 t ) e^-t + 14 e^t na solução geral:
Então, a solução da equação diferencial dada com as condições iniciais fornecidas é:

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