Resolva as seguintes equaçōes diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E tem duas condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é o das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea correspondente (
) mais uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo todos os termos por
(que nunca é zero):
Essa é a equação característica. Vamos resolver:
Como temos uma raiz real dupla (
), a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante a ser encontrada. Vamos substituir
na equação diferencial:
Prime, calculemos as derivadas:
Substituindo na equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Agora, calculamos a derivada de
:
Agora, aplicamos
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral:
Então, a solução da equação diferencial dada com as condições iniciais fornecidas é: