Expresse o número decimal periódico como uma série e ache o número racional que ela representa:
.
Passo 1
Estamos lidando com o número periódico 15,712712712… e queremos escrever isso como uma série infinita e, em seguida, encontrar a fração que ele representa. O conteúdo principal aqui é entender que um decimal periódico gera uma série geométrica infinita e usar a fórmula de soma dessa série para chegar a um número racional.
Passo 2
Primeiro separamos a parte inteira da parte decimal periódica. A parte inteira é 15 e a parte decimal é “712” que se repete a cada três casas. Assim podemos escrever:
Passo 3
Agora reconhecemos que a soma
é uma série geométrica de primeiro termo
e razão
. A fórmula para a soma de uma PG infinita com
é:
Passo 4
Aplicando essa fórmula, note que nossa soma está em termos de
, mas podemos ajustar:
- Primeiro termo efetivo:
, - razão:
.
Então:
Passo 5
Por fim, somamos a parte inteira 15 a essa fração:
Como 15697 e 999 não têm divisor comum além de 1, essa fração já está irredutível.
Resposta
15697/999