Expresse o número decimal periódico como uma série e ache o número racional que ela representa:
15,712712712 .

Passo 1

Estamos lidando com o número periódico 15,712712712… e queremos escrever isso como uma série infinita e, em seguida, encontrar a fração que ele representa. O conteúdo principal aqui é entender que um decimal periódico gera uma série geométrica infinita e usar a fórmula de soma dessa série para chegar a um número racional.

Passo 2

Primeiro separamos a parte inteira da parte decimal periódica. A parte inteira é 15 e a parte decimal é “712” que se repete a cada três casas. Assim podemos escrever:
15,712712712dots = 15 + sumk=1^infty 71210^3k

Passo 3

Agora reconhecemos que a soma sumk=1^infty 71210^3k é uma série geométrica de primeiro termo a = tfrac71210^3 e razão r = tfrac110^3. A fórmula para a soma de uma PG infinita com |r|<1 é:
sumk=1^infty ar^k-1 = a1-r

Passo 4

Aplicando essa fórmula, note que nossa soma está em termos de r^k, mas podemos ajustar:
  • Primeiro termo efetivo: a'=tfrac71210^3,
  • razão: r=tfrac110^3.
    Então:
sumk=1^infty 71210^3k = tfrac71210001 - tfrac11000 = 712/1000999/1000 = 712999

Passo 5

Por fim, somamos a parte inteira 15 a essa fração:
15 + 712999 = 15 cdot 999 + 712999 = 15697999
Como 15697 e 999 não têm divisor comum além de 1, essa fração já está irredutível.

Resposta

15697/999

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