Expresse o polinômio f(x)=x_{1}^{3}+2 x_{1}^{2} x_{2}+3 x_{2}^{3}+x_{1}-x_{2} como soma de termos do tipo, c\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right), c \in \mathbb{R}, p, q \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio
f(x)=x_{1}^{3}+2x_{1}^{2}x_{2}+3x_{2}^{3}+x_{1}-x_{2}
como soma de termos do tipo c\,(x_{1}-1)^{p}(x_{2}-1)^{q}, com c\in\mathbb{R} e p,q\in\mathbb{N}.
Informações dadas:
  • O polinômio original está em termos de x_{1} e x_{2}.
  • Deseja-se reescrever tudo em potências de (x_{1}-1) e (x_{2}-1).
Objetivo claro: fazer a mudança de variável u=x_{1}-1, v=x_{2}-1 (ou seja, x_{1}=u+1, x_{2}=v+1) e expandir, obtendo uma soma de monômios da forma c\,u^{p}v^{q}, depois reescrever voltando para (x_{1}-1) e (x_{2}-1).

Passo 2

Explicando a técnica (a “aula rápida”):
  • Quando trocar x_{1}=u+1 e x_{2}=v+1, cada fator como x_{1}^{3} vira (u+1)^{3}. Para expandir (u+1)^{3} usa-se a fórmula do binômio de Newton:
(u+1)^{3}=u^{3}+3u^{2}+3u+1.
  • A mesma ideia vale para (v+1)^{3} e para produtos como (u+1)^{2}(v+1): primeiro expande um fator e depois multiplica pelo outro, recolhendo termos iguais em potências u^{p}v^{q}.
Vamos aplicar isso termo a termo com cuidado para não pular contas.

Passo 3

Expansão de x_{1}^{3}. Com x_{1}=u+1:
x_{1}^{3}=(u+1)^{3}=u^{3}+3u^{2}+3u+1.

Passo 4

Expansão de 2x_{1}^{2}x_{2}. Primeiro (u+1)^{2}=u^{2}+2u+1. Multiplicando por (v+1) e depois por 2:
(x_{1}^{2}x_{2})=(u+1)^{2}(v+1)=(u^{2}+2u+1)(v+1)=u^{2}v+2uv+v+u^{2}+2u+1.
Multiplicando por 2:
2x_{1}^{2}x_{2}=2u^{2}v+4uv+2v+2u^{2}+4u+2.

Passo 5

Expansão de 3x_{2}^{3}. Com x_{2}=v+1:
3x_{2}^{3}=3(v+1)^{3}=3(v^{3}+3v^{2}+3v+1)=3v^{3}+9v^{2}+9v+3.

Passo 6

Expansão dos termos lineares x_{1} e -x_{2}:
x_{1}=u+1,\qquad -x_{2}=-(v+1)=-v-1.

Passo 7

Agora somamos tudo: juntar as expansões dos passos anteriores.
Listando todos os termos que apareceram:
  • De x_{1}^{3}: u^{3}+3u^{2}+3u+1.
  • De 2x_{1}^{2}x_{2}: 2u^{2}v+4uv+2v+2u^{2}+4u+2.
  • De 3x_{2}^{3}: 3v^{3}+9v^{2}+9v+3.
  • De x_{1}: u+1.
  • De -x_{2}: -v-1.
Agora agrupamos termos com as mesmas potências u^{p}v^{q}:
  • Termo u^{3}: coeficiente 1.
  • Termo u^{2}v: coeficiente 2.
  • Termos u^{2}: 3 (de x_{1}^{3}) +\;2 (de 2x_{1}^{2}x_{2}) =\;5.
  • Termo uv: coeficiente 4.
  • Termo v^{3}: coeficiente 3.
  • Termo v^{2}: coeficiente 9.
  • Termos v: 2 (de 2x_{1}^{2}x_{2}) +\;9 (de 3x_{2}^{3}) -\;1 (de -x_{2}) =\;10.
  • Termos u: 3 (de x_{1}^{3}) +\;4 (de 2x_{1}^{2}x_{2}) +\;1 (de x_{1}) =\;8.
  • Termos constantes: 1 (de x_{1}^{3}) +\;2 +\;3 +\;1 -\;1 =\;6.
Portanto a soma recolhida é
f=(u^{3})+(2u^{2}v)+(5u^{2})+(4uv)+(3v^{3})+(9v^{2})+(10v)+(8u)+6.

Passo 8

Voltando às variáveis originais (x_{1}-1)=u e (x_{2}-1)=v, obtemos a expressão pedida, escrita explicitamente como soma de termos do tipo c\,(x_{1}-1)^{p}(x_{2}-1)^{q}:
f(x)=1\,(x_{1}-1)^{3}+2\,(x_{1}-1)^{2}(x_{2}-1)+5\,(x_{1}-1)^{2}+4\,(x_{1}-1)(x_{2}-1)
\qquad\qquad\; +3\,(x_{2}-1)^{3}+9\,(x_{2}-1)^{2}+10\,(x_{2}-1)+8\,(x_{1}-1)+6.
Checagem rápida (sanity check): avaliando em x_{1}=1,\;x_{2}=1 temos f(1,1)=1+2+3+1-1=6, que coincide com o termo constante 6 encontrado — bom sinal de que a expansão está correta.

Resposta

f(x)=1\,(x_{1}-1)^{3}+2\,(x_{1}-1)^{2}(x_{2}-1)+5\,(x_{1}-1)^{2}+4\,(x_{1}-1)(x_{2}-1)+3\,(x_{2}-1)^{3}+9\,(x_{2}-1)^{2}+10\,(x_{2}-1)+8\,(x_{1}-1)+6.

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