Expresse o polinômio
como soma de termos do tipo,
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o polinômio
como soma de termos do tipo
, com
e
.
Informações dadas:
- O polinômio original está em termos de
e . - Deseja-se reescrever tudo em potências de
e .
Objetivo claro: fazer a mudança de variável
,
(ou seja,
,
) e expandir, obtendo uma soma de monômios da forma
, depois reescrever voltando para
e
.
Passo 2
Explicando a técnica (a “aula rápida”):
- Quando trocar
e , cada fator como vira . Para expandir usa-se a fórmula do binômio de Newton:
- A mesma ideia vale para
e para produtos como : primeiro expande um fator e depois multiplica pelo outro, recolhendo termos iguais em potências .
Vamos aplicar isso termo a termo com cuidado para não pular contas.
Passo 3
Expansão de
. Com
:
Passo 4
Expansão de
. Primeiro
. Multiplicando por
e depois por
:
Multiplicando por
:
Passo 5
Expansão de
. Com
:
Passo 6
Expansão dos termos lineares
e
:
Passo 7
Agora somamos tudo: juntar as expansões dos passos anteriores.
Listando todos os termos que apareceram:
- De
: . - De
: . - De
: . - De
: . - De
: .
Agora agrupamos termos com as mesmas potências
:
- Termo
: coeficiente . - Termo
: coeficiente . - Termos
: (de ) (de ) . - Termo
: coeficiente . - Termo
: coeficiente . - Termo
: coeficiente . - Termos
: (de ) (de ) (de ) . - Termos
: (de ) (de ) (de ) . - Termos constantes:
(de ) .
Portanto a soma recolhida é
Passo 8
Voltando às variáveis originais
e
, obtemos a expressão pedida, escrita explicitamente como soma de termos do tipo
:
Checagem rápida (sanity check): avaliando em
temos
, que coincide com o termo constante
encontrado — bom sinal de que a expansão está correta.