Determine a fórmula de Taylor de ordem 2 para,
f(x)=x_{1}^{3}+2 x_{1}^{2} x_{2}+3 x_{2}^{3}+x_{1}-x_{2}, centro a=(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a fórmula de Taylor de ordem 2 para a função
f(x)=x_{1}^{3}+2x_{1}^{2}x_{2}+3x_{2}^{3}+x_{1}-x_{2},
centrada no ponto a=(1,1).
Informações dadas:
  • A função é f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}+2x_{1}^{2}x_{2}+3x_{2}^{3}+x_{1}-x_{2}.
  • O centro é a=(1,1).
  • O que se pede: o polinômio de Taylor de ordem 2 (polinômio de segundo grau em (x_{1}-1) e (x_{2}-1)) centrado em a.

Passo 2

Apresentar a fórmula geral de Taylor de ordem 2 para funções de duas variáveis e explicar seus termos.
A fórmula de Taylor de ordem 2, centrada em a=(a_{1},a_{2}), para uma função suficientemente suave f é
T_{2}(x)=f(a)+\nabla f(a)^{T}(x-a)+\tfrac{1}{2}(x-a)^{T}H_{f}(a)(x-a),
onde:
  • x=(x_{1},x_{2}).
  • x-a=(x_{1}-a_{1},\,x_{2}-a_{2}) é o vetor de deslocamento.
  • \nabla f(a) é o vetor gradiente de f avaliado em a; seus componentes são as derivadas parciais primeiras: \nabla f(a)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(a)\\[4pt]\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}(a)\end{pmatrix}.
  • H_{f}(a) é a matriz Hessiana de f em a; seus elementos são as segundas derivadas parciais: H_{f}(a)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}(a) & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}(a)\\[6pt] \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}(a) & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}(a) \end{pmatrix}.
Explicação rápida: o primeiro termo f(a) é o valor no centro; o segundo termo é a aproximação linear (produto escalar do gradiente pelo deslocamento); o terceiro termo adiciona a curvatura (é uma forma quadrática envolvendo a Hessiana), e o fator \tfrac{1}{2} aparece porque é uma série de Taylor truncada na segunda ordem.]

Passo 3

Calcular f(a), o valor da função em a=(1,1).
Substituindo x_{1}=1 e x_{2}=1 em f:
f(1,1)=1^{3}+2\cdot1^{2}\cdot1+3\cdot1^{3}+1-1.
Fazendo as contas passo a passo:
1^{3}=1,\quad 2\cdot1^{2}\cdot1=2,\quad 3\cdot1^{3}=3,\quad 1-1=0.
Somando:
f(1,1)=1+2+3+0=6.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais primeiras de f e avaliar o gradiente em a.
Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})=3x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+1,
explicando: derivada de x_{1}^{3} é 3x_{1}^{2}; de 2x_{1}^{2}x_{2} trata-se de 2x_{2}\cdot 2x_{1}=4x_{1}x_{2}; os outros termos contribuem conforme esperado.
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}+9x_{2}^{2}-1,
explicando: de 2x_{1}^{2}x_{2} deriva 2x_{1}^{2}; de 3x_{2}^{3} deriva 9x_{2}^{2}; de -x_{2} deriva -1.
Agora avaliar em a=(1,1):
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(1,1)=3\cdot1^{2}+4\cdot1\cdot1+1=3+4+1=8,
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(1,1)=2\cdot1^{2}+9\cdot1^{2}-1=2+9-1=10.
Logo
\nabla f(1,1)=\begin{pmatrix}8\\[4pt]10\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular as segundas derivadas parciais e a Hessiana em a.
Segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}(x_{1},x_{2})=\frac{\partial}{\partial x_{1}}\big(3x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+1\big)=6x_{1}+4x_{2},
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}(x_{1},x_{2})=\frac{\partial}{\partial x_{2}}\big(3x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+1\big)=4x_{1},
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}(x_{1},x_{2})=\frac{\partial}{\partial x_{2}}\big(2x_{1}^{2}+9x_{2}^{2}-1\big)=18x_{2}.
Como f tem derivadas mistas contínuas, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}.
Avaliar em a=(1,1):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}(1,1)=6\cdot1+4\cdot1=10,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}(1,1)=4\cdot1=4,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}(1,1)=18\cdot1=18.
Assim a Hessiana é
H_{f}(1,1)=\begin{pmatrix}10 & 4\\[4pt]4 & 18\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular explicitamente a forma quadrática \tfrac{1}{2}(x-a)^{T}H_{f}(a)(x-a) em termos de h_{1}=x_{1}-1 e h_{2}=x_{2}-1.
Escrevendo h=(h_{1},h_{2})^{T}=(x_{1}-1,x_{2}-1)^{T}, temos
\tfrac{1}{2}h^{T}H_{f}(1,1)h=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}h_{1} & h_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}10 & 4\\[4pt]4 & 18\end{pmatrix} \begin{pmatrix}h_{1}\\[4pt]h_{2}\end{pmatrix}.
Calculando o produto:
h^{T}Hh=10h_{1}^{2}+2\cdot4\,h_{1}h_{2}+18h_{2}^{2}=10h_{1}^{2}+8h_{1}h_{2}+18h_{2}^{2}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}h^{T}Hh=5h_{1}^{2}+4h_{1}h_{2}+9h_{2}^{2}.
Também o termo linear \nabla f(a)^{T}(x-a) em h é
\nabla f(1,1)^{T}h=8h_{1}+10h_{2}.]

Passo 7

Agora que temos todas as partes:
  • f(1,1)=6,
  • \nabla f(1,1)^{T}(x-a)=8(x_{1}-1)+10(x_{2}-1),
  • \tfrac{1}{2}(x-a)^{T}H_{f}(1,1)(x-a)=5(x_{1}-1)^{2}+4(x_{1}-1)(x_{2}-1)+9(x_{2}-1)^{2},
fazendo a soma de acordo com a fórmula de Taylor de ordem 2 obtemos o polinômio pedido (ver seção de resposta).

Resposta

T_{2}(x_{1},x_{2})=6+8(x_{1}-1)+10(x_{2}-1)+5(x_{1}-1)^{2}+4(x_{1}-1)(x_{2}-1)+9(x_{2}-1)^{2}

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