x-a=(x_{1}-a_{1},\,x_{2}-a_{2}) é o vetor de deslocamento.
\nabla f(a) é o vetor gradiente de f avaliado em a; seus componentes são as derivadas parciais primeiras:\nabla f(a)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}(a)\\[4pt]\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}(a)\end{pmatrix}.
H_{f}(a) é a matriz Hessiana de f em a; seus elementos são as segundas derivadas parciais:H_{f}(a)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}(a) & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}(a)\\[6pt] \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}(a) & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}(a) \end{pmatrix}.
Explicação rápida: o primeiro termo f(a) é o valor no centro; o segundo termo é a aproximação linear (produto escalar do gradiente pelo deslocamento); o terceiro termo adiciona a curvatura (é uma forma quadrática envolvendo a Hessiana), e o fator \tfrac{1}{2} aparece porque é uma série de Taylor truncada na segunda ordem.]
explicando: derivada de x_{1}^{3} é 3x_{1}^{2}; de 2x_{1}^{2}x_{2} trata-se de 2x_{2}\cdot 2x_{1}=4x_{1}x_{2}; os outros termos contribuem conforme esperado.