Determine a fórmula de Taylor de ordem 2 para,
, centro
Passo 1
O enunciado pede: determinar a fórmula de Taylor de ordem 2 para a função
dada por
com centro
.
Informações dadas e o que é solicitado:
- A função é
definida por . - O centro da expansão é
. - Pede-se o polinômio de Taylor de ordem 2 (termo constante, termos lineares e termos quadráticos) em torno de
.
Passo 2
Vou escrever a fórmula geral de Taylor de ordem 2 para funções de duas variáveis centrada em
. Para uma função suficientemente suave, o polinômio de Taylor de ordem 2 é
Explicando cada termo:
-
é o valor da função no ponto . -
são as derivadas parciais primeiras avaliadas em e multiplicam os deslocamentos . -
são as segundas derivadas parciais avaliadas em ; a soma dupla forma o termo quadrático. O fator evita dupla contagem porque a soma inclui e .
Passo 3
Calcular
. Como
, temos
Passo 4
Calcular as derivadas parciais primeiras e avaliá‑las em
.
Derivando:
Avaliando em
:
Portanto os termos lineares são nulos.
Passo 5
Calcular as derivadas segundas (componentes da Hessiana) e avaliá‑las em
.
Derivadas segundas:
Avaliando em
:
Logo a matriz Hessiana em
é
Passo 6
Montar o termo quadrático usando as segundas derivadas avaliadas em
. Pelo termo quadrático da fórmula:
Substituindo os valores obtidos:
Passo 7
Juntando tudo (termo constante, termos lineares e termo quadrático) obtemos o polinômio de Taylor de ordem 2:
Como verificação rápida e intuitiva: para
pequenos,
e
, portanto
, o que coincide com o resultado obtido.