Determine a fórmula de Taylor de ordem 2 para,
f(x)=\operatorname{sen}\left(x_{1}\right) \operatorname{sen}\left(x_{2}\right), centro a=0=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a fórmula de Taylor de ordem 2 para a função f dada por
f(x)=\operatorname{sen}\!\left(x_{1}\right)\operatorname{sen}\!\left(x_{2}\right),
com centro a=0=(0,0).
Informações dadas e o que é solicitado:
  • A função é f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x_1,x_2)=\sin(x_1)\sin(x_2).
  • O centro da expansão é a=(0,0).
  • Pede-se o polinômio de Taylor de ordem 2 (termo constante, termos lineares e termos quadráticos) em torno de a.

Passo 2

Vou escrever a fórmula geral de Taylor de ordem 2 para funções de duas variáveis centrada em a=(0,0). Para uma função suficientemente suave, o polinômio de Taylor de ordem 2 é
T_2(x)=f(0)+\sum_{i=1}^{2}\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)\,x_i+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(0)\,x_i x_j.
Explicando cada termo:
  • f(0) é o valor da função no ponto a.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(0) são as derivadas parciais primeiras avaliadas em a e multiplicam os deslocamentos x_i-0=x_i.
  • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(0) são as segundas derivadas parciais avaliadas em a; a soma dupla forma o termo quadrático. O fator \tfrac{1}{2} evita dupla contagem porque a soma inclui i\neq j e i=j.

Passo 3

Calcular f(0). Como f(x_1,x_2)=\sin(x_1)\sin(x_2), temos
f(0,0)=\sin(0)\sin(0)=0\cdot0=0.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais primeiras e avaliá‑las em 0.
Derivando:
\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2)=\cos(x_1)\sin(x_2), \qquad \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2)=\sin(x_1)\cos(x_2).
Avaliando em (0,0):
\frac{\partial f}{\partial x_1}(0,0)=\cos(0)\sin(0)=1\cdot0=0,
\frac{\partial f}{\partial x_2}(0,0)=\sin(0)\cos(0)=0\cdot1=0.
Portanto os termos lineares são nulos.

Passo 5

Calcular as derivadas segundas (componentes da Hessiana) e avaliá‑las em 0.
Derivadas segundas:
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x)= -\sin(x_1)\sin(x_2),
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(x)= -\sin(x_1)\sin(x_2),
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}(x)=\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}(x)=\cos(x_1)\cos(x_2).
Avaliando em (0,0):
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(0,0)=-\sin(0)\sin(0)=0,
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(0,0)=0,
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}(0,0)=\cos(0)\cos(0)=1.
Logo a matriz Hessiana em 0 é
Hf(0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montar o termo quadrático usando as segundas derivadas avaliadas em 0. Pelo termo quadrático da fórmula:
\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(0)\,x_i x_j = \frac{1}{2}\bigg(\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(0)x_1^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}(0)x_1x_2+\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(0)x_2^2\bigg).
Substituindo os valores obtidos:
\frac{1}{2}\big(0\cdot x_1^2+2\cdot1\cdot x_1x_2+0\cdot x_2^2\big)=\frac{1}{2}\cdot 2 x_1x_2 = x_1x_2.

Passo 7

Juntando tudo (termo constante, termos lineares e termo quadrático) obtemos o polinômio de Taylor de ordem 2:
T_2(x_1,x_2)=x_1x_2.
Como verificação rápida e intuitiva: para x_1,x_2 pequenos, \sin(x_1)\approx x_1 e \sin(x_2)\approx x_2, portanto \sin(x_1)\sin(x_2)\approx x_1x_2, o que coincide com o resultado obtido.

Resposta

T_2(x_1,x_2)=x_1x_2

Exercícios relacionados