Determine a derivada de:
(d) ; f(x)=e^3 x arctg(2 x)

Passo 1

Temos a função f(x)=e^3 xarctg(2 x). O conteúdo aqui é regra do produto e regra da cadeia. Vamos precisar da derivada de e^3x e da derivada de arctg(2x).

Passo 2

Derivada de e^3x: aplicando a regra da cadeia, a derivada de 3x é 3, então (e^3x)'=3e^3x.

Passo 3

Derivada de arctg(2x): pela regra da cadeia, temos (arctg(u))'=11+u^2u' com u=2x e u'=2. Logo $ (\operatorname{arctg}(2x))’=\frac{1}{1+(2x)2}\cdot2=\frac{2}{1+4x2}.$

Passo 4

Aplicando a regra do produto (fg)'=f'g+fg' com f(x)=e^3x e g(x)=arctg(2x), obtemos: f'(x)= (e^3x)'arctg(2x)+e^3x(arctg(2x))'

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas, fica f'(x)=3e^3xarctg(2x)+e^3x21+4x^2 Para simplificar, fatoramos e^3x: f'(x)=e^3xl(3arctg(2x)+tfrac21+4x^2r)

Resposta

f’(x)=e{3x}\bigl(3\operatorname{arctg}(2x)+\tfrac{2}{1+4x2}\bigr)

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