Expresse os seguintes números complexos na forma
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para expressar o número complexo
na forma
. Então, vamos precisar entender potenciação e logaritmo no contexto de números complexos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Para lidar com potências de números complexos, usamos a fórmula
. Aqui,
e
. Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
. No campo dos números complexos, o logaritmo de um número negativo pode ser expresso usando a identidade de Euler:
. Portanto:
Passo 4
Substituindo
na expressão de
:
Pois
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. No contexto complexo,
pode ser expresso como
. Para
:
- A magnitude
- O argumento
(ou , mas usaremos o valor principal)
Então:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Podemos reescrever isso na forma padrão
, onde
e
.
Resposta
Portanto,
, ou seja: