Expresse os seguintes números complexos na forma x+y i :
(-1)^i log (-i).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para expressar o número complexo (-1)^i log (-i) na forma x + yi. Então, vamos precisar entender potenciação e logaritmo no contexto de números complexos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular (-1)^i. Para lidar com potências de números complexos, usamos a fórmula a^b = e^b cdot ln(a). Aqui, a = -1 e b = i. Então:
(-1)^i = e^i cdot ln(-1)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar ln(-1). No campo dos números complexos, o logaritmo de um número negativo pode ser expresso usando a identidade de Euler: -1 = e^ipi. Portanto:
ln(-1) = ipi

Passo 4

Substituindo ln(-1) na expressão de (-1)^i:
(-1)^i = e^i cdot ipi = e^-pi
Pois i cdot i = -1.

Passo 5

Agora, vamos calcular log(-i). No contexto complexo, log(z) pode ser expresso como ln|z| + i cdot arg(z). Para z = -i:
  • A magnitude | -i | = 1
  • O argumento arg(-i) = -pi2 (ou 3pi2, mas usaremos o valor principal)
Então:
log(-i) = ln(1) + i (-pi2) = 0 - ipi2 = -ipi2

Passo 6

Agora, juntando tudo:
(-1)^i log(-i) = e^-pi cdot (-ipi2) = -e^-pi cdot i cdot pi2
Podemos reescrever isso na forma padrão x + yi, onde x = 0 e y = -e^-pi cdot pi2.

Resposta

Portanto, (-1)^i log(-i) = 0 - pi2 e^-pi i, ou seja:
(-1)^i log(-i) = -pi2 e^-pi i

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