Expresse as seguintes somas de integrais como uma única integral
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas integrais:
Estamos sendo solicitados a combinar essas duas integrais em uma única integral. Para isso, vamos precisar entender como as propriedades das integrais funcionam, especialmente no que diz respeito aos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a segunda integral:
. Normalmente, os limites de integração vão do menor para o maior valor. Aqui, eles estão invertidos, de 4 para 2. Uma propriedade importante das integrais diz que quando invertemos os limites de integração, o sinal da integral também inverte. Ou seja:
Aplicando isso à nossa segunda integral:
Passo 3
Agora, substituímos a segunda integral na expressão original:
Simplificando os sinais:
Passo 4
Agora, temos duas integrais com limites que se sobrepõem: de 1 a 4 e de 2 a 4. Podemos combinar essas integrais em uma única integral considerando que:
Mas no nosso caso, os intervalos são de 1 a 4 e de 2 a 4. Para combinar, vamos expressar a soma como a soma de duas áreas: de 1 a 2 e de 2 a 4. Assim:
Isso não simplifica diretamente, então precisamos pensar de outra forma.
Passo 5
Vamos voltar para a expressão original após ajustar os limites:
Podemos perceber que estamos somando a área de 1 a 4 com a área de 2 a 4. Para combinar isso de forma inteligente, consideramos que:
No entanto, isso não nos dá uma única integral. Uma abordagem melhor é reconsiderar os limites iniciais com a propriedade dos limites inversos.
Passo 6
Vamos revisar a expressão inicial:
Agora, combinando as integrais que vão de 1 a 4 e de 2 a 4, percebemos que a área de 2 a 4 está sendo adicionada duas vezes. Para expressar isso como uma única integral, consideramos:
Ainda assim, não conseguimos uma única integral simples. Parece que a melhor forma de expressar a soma original como uma única integral é manter os limites ajustados:
Resposta
A soma das integrais pode ser expressa como: