[13.3] Encontre os vetores T, N e B, no ponto indicado.
O vetor binormal B é definido por B=T times N.
[48] r(t)=lang<=cos (t), sen(t), ln (cos (t))rang<= ;(1,0,0)

Passo 1

O enunciado pede os vetores tangente unitário T, normal unitário N e binormal B para a curva
r(t)=lang<= cos t,;sin t,;ln(cos t)rang<=
no ponto (1,0,0). Vamos usar as definições
T(t)=r'(t)|r'(t)|, N(t)=T'(t)|T'(t)|, B(t)=T(t)timesN(t)

Passo 2

Primeiro achamos o valor de t que gera o ponto (1,0,0). Queremos
cos t=1, sin t=0, ln(cos t)=0
Isso ocorre para t=0 (módulo 2pi), pois cos0=1, sin0=0 e ln1=0.

Passo 3

Calculamos a derivada
r'(t)=lang<= -sin t,;cos t,;-tan trang<=
Em t=0 isso é
r'(0)=lang<= 0,,1,,0rang<=,
cuja norma é |r'(0)|=1. Logo
T(0)=r'(0)|r'(0)| =lang<= 0,,1,,0rang<=

Passo 4

Para encontrar N(0) precisamos de T(t) em geral. Primeiro
|r'(t)| =raizsin^2t+cos^2t+tan^2t =l|sec tr|
Como em t=0 temos sec0=1>0, vale
T(t) =lang<= -sin t,cos t,-tan trang<=sec t =llang<= -sin tcos t,;cos^2t,;-sin trrang<=

Passo 5

Agora diferenciamos T(t) e avaliamos em t=0:
T'(t) =llang<= -cos2t,;-sin2t,;-cos trrang<=,
T'(0)=lang<= -1,,0,,-1rang<=, |T'(0)|=raiz(-1)^2+0^2+(-1)^2=raiz2
Logo o vetor normal unitário em t=0 é
N(0) =T'(0)|T'(0)| =llang<= -1raiz2,;0,;-1raiz2rrang<=

Passo 6

Por fim, o binormal em t=0 é o produto vetorial
B(0) =T(0)timesN(0) =lang<= 0,1,0rang<=timesllang<= -tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2rrang<= =llang<= -tfrac1raiz2,,0,,tfrac1raiz2rrang<=

Resposta

T(0)=lang<= 0,1,0rang<=, N(0)=llang<= -tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2rrang<=, B(0)=llang<= -tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2rrang<=

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