Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
f(x)=\cos x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para expressar como série de potências centrada em zero a função f(x)=\cos x^{2}.
Informações dadas: a função é f(x)=\cos x^{2}. A tarefa é escrever essa função como uma série de potências em torno de 0 (série de Maclaurin) — ou seja, encontrar uma expressão do tipo \sum a_{m}x^{m}.

Passo 2

Lembrete útil (aula rapidinha): toda série de Maclaurin de uma função que é suficientemente diferenciável em 0 pode ser obtida pela série de Taylor centrada em 0:
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}.
No caso de funções conhecidas como \cos z, já existe uma expansão padrão (que podemos obter aplicando a fórmula acima ou lembrando a periodicidade das derivadas):
\cos z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n}.
Explicando a fórmula da série da cosseno de forma simples: as derivadas de \cos z se repetem em ciclo ( \cos, -\sin, -\cos, \sin,\dots), o que faz com que apenas as potências pares de z apareçam e os coeficientes sejam \frac{(-1)^n}{(2n)!}.

Passo 3

Agora a ideia prática para essa questão: substituímos z=x^{2} na série de \cos z. Como a expansão é válida para qualquer z, vale também para z=x^{2}. Fazendo a substituição obtemos:
\cos x^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\bigl(x^{2}\bigr)^{2n}.

Passo 4

Simplificamos a potência: \bigl(x^{2}\bigr)^{2n}=x^{4n}. Portanto a série fica
\cos x^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{4n}.
Isso já é uma série de potências centrada em 0. Repare que só aparecem potências de ordem múltipla de 4.

Passo 5

Mostro os primeiros termos para ficar mais concreto (saiu da soma acima, com n=0,1,2,3):
\cos x^{2}=1-\frac{x^{4}}{2!}+\frac{x^{8}}{4!}-\frac{x^{12}}{6!}+\cdots.
Isso ajuda na prova: na hora da prova você pode escrever esses termos para mostrar o padrão.

Passo 6

Queremos também saber os coeficientes na forma \sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m}. Observação direta: se m não é múltiplo de 4, então a_{m}=0. Se m=4n então
a_{4n}=\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}.
Assim os coeficientes ficam totalmente descritos.

Passo 7

Sobre convergência (importante para responder com segurança): trate a série como uma série em y=x^{4},
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}y^{n}.
Pelo teste da razão, para qualquer y\in\mathbb{R} o fator extra vindo de (2n)! faz a razão tender a 0, ou use que \cos z é inteira (analítica em todo \mathbb{C}). Conclusão: a série converge para todo x (raio de convergência infinito).

Resposta

\cos x^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{4n}=1-\frac{x^{4}}{2!}+\frac{x^{8}}{4!}-\frac{x^{12}}{6!}+\cdots

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