Determine o raio de convergência (R) das seguintes séries de potências: \sum_{n=0}^{\infty}(n+i) z^{n}.
Resposta: R=1
Passo 1
O enunciado pede para determinar o raio de convergência R da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} (n+i)\,z^{n}.
Informações dadas: os coeficientes da série são a_{n}=n+i (número complexo) e a série está centrada em 0 (termos em z^{n}). A pergunta é: qual é o valor do raio de convergência R?
Passo 2
Lembra de uma fórmula padrão para o raio de convergência? A maneira mais direta é usar a fórmula de Cauchy–Hadamard:
Aqui a_{n} é o coeficiente da série. A ideia é que \sqrt[n]{|a_{n}|} mede, em média, o quanto os coeficientes crescem por potência, e o raio é o inverso desse crescimento. Vou aplicar essa fórmula aos nossos coeficientes a_{n}=n+i.
Passo 3
Calculo explícito de |a_{n}|. Para a_{n}=n+i temos
|a_{n}|=|n+i|=\sqrt{n^{2}+1},
pois o módulo de um número complexo x+iy é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então precisamos de
Para n^{1/n} usamos logaritmo: \ln\bigl(n^{1/n}\bigr)=\dfrac{\ln n}{n}. Como \ln n cresce muito mais devagar que n, temos \dfrac{\ln n}{n}\to 0 quando n\to\infty. Logo \ln\bigl(n^{1/n}\bigr)\to 0 e, exponenciando, n^{1/n}\to 1.
Para \left(1+\tfrac{1}{n^{2}}\right)^{\tfrac{1}{2n}} podemos também tomar logaritmo:
Como \ln\left(1+\tfrac{1}{n^{2}}\right)\sim \tfrac{1}{n^{2}} quando n é grande, o produto \tfrac{1}{2n}\cdot \tfrac{1}{n^{2}}=\tfrac{1}{2n^{3}}\to 0. Portanto o logaritmo tende a 0 e o fator tende a 1.
Com isso,
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}=1\cdot 1=1.
Assim \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=1.
então o comportamento assintótico dos coeficientes não altera o fator |z| e a série converge para |z|<1 e diverge para |z|>1, confirmando R=1. Em |z|=1 é necessário teste adicional, mas isso não muda o raio.