Determine o raio de convergência (R) das seguintes séries de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} \cos (i n) z^{n}.
Resposta: R=e^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o raio de convergência R da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \cos(i n)\, z^{n}.
Informações relevantes do enunciado:
\text{coeficientes: } a_n = \cos(i n)\quad\text{para }n=0,1,2,\dots
A tarefa é calcular o raio de convergência R dessa série de potências.

Passo 2

Vamos usar a fórmula que relaciona os coeficientes da série ao seu raio de convergência (Teorema de Cauchy–Hadamard). A fórmula diz que, se a série é \sum_{n=0}^\infty a_n z^n, então
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Explicando a fórmula de forma simples:
  • a_n são os coeficientes da série.
  • |a_n|^{1/n} mede a taxa de crescimento de a_n em termos de raiz enésima.
  • \limsup_{n\to\infty} é o limite superior dos valores |a_n|^{1/n} quando n cresce — intuitivamente, o valor para o qual subsequências de |a_n|^{1/n} podem se aproximar por cima.
  • Se esse \limsup for finito e positivo, o raio R é o inverso dele.
Portanto, nosso objetivo prático será calcular \displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} com a_n=\cos(i n).

Passo 3

Primeiro simplificamos a expressão de a_n=\cos(i n). Usamos a definição da função cosseno em termos de exponenciais complexas:
\cos w = \frac{e^{iw} + e^{-iw}}{2}.
Tomando w = i n, obtemos
\cos(i n) = \frac{e^{i(i n)} + e^{-i(i n)}}{2} = \frac{e^{-n} + e^{n}}{2}.
A expressão à direita é a definição da função cosseno hiperbólico. Portanto
\cos(i n) = \operatorname{cosh} n,
onde
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.

Passo 4

Agora precisamos do comportamento assintótico de \operatorname{cosh} n quando n\to\infty. Escrevemos
\operatorname{cosh} n = \frac{e^{n}+e^{-n}}{2} = \frac{e^{n}}{2}\left(1+e^{-2n}\right).
Tomando a raiz enésima de ambos os lados:
(\operatorname{cosh} n)^{1/n} = \left(\frac{e^{n}}{2}\right)^{1/n}\left(1+e^{-2n}\right)^{1/n}.
Simplificamos cada fator:
\left(\frac{e^{n}}{2}\right)^{1/n} = e \cdot 2^{-1/n},
e
\left(1+e^{-2n}\right)^{1/n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 1,
porque e^{-2n}\to0 e (1+\text{pequeno})^{1/n}\to1 quando n\to\infty. Além disso 2^{-1/n}\to1 quando n\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty} (\operatorname{cosh} n)^{1/n} = e.
Como (\operatorname{cosh} n)^{1/n} tem limite, seu \limsup é o mesmo valor:
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} = \limsup_{n\to\infty} (\operatorname{cosh} n)^{1/n} = e.

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Cauchy–Hadamard do Passo 2 com o valor encontrado no Passo 4:
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}} = \frac{1}{e}.
Podemos escrever isso também como R=e^{-1}.

Resposta

R=e^{-1}

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