Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução encontrada.
y^{\prime \prime}+y=\sum_{n=1}^{3} \delta(t-n \pi), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução de valor inicial da equação diferencial com impulsos
y'' + y = \sum_{n=1}^{3}\delta(t - n\pi), \quad y(0)=0,\;y'(0)=0
e o gráfico de y(t). Este é um problema de equação linear forçada por deltas de Dirac, em que a solução é composta por trechos homogêneos intercalados por saltos na derivada de y. Vamos usar a condição de salto
y'(t_0^+) - y'(t_0^-) = 1
sempre que t_0 = n\pi.

Passo 2

Para 0 \le t < \pi não há força (nenhum impulso agiu ainda), logo a solução é homogênea
y_h(t)=A\sin t + B\cos t.
Impondo y(0)=0 e y'(0)=0 obtemos
y(0)=B=0,\quad y'(t)=A\cos t - B\sin t\implies y'(0)=A=0.
Logo
y(t)=0,\quad 0\le t<\pi.

Passo 3

No instante t=\pi ocorre o primeiro impulso. Antes do impulso y(\pi^-)=0,\;y'(\pi^-)=0. Aplicando o salto
y'(\pi^+)=y'(\pi^-)+1=1.
Para \pi<t<2\pi escrevemos novamente a solução homogênea
y(t)=C\sin t + D\cos t.
Impondo continuidade y(\pi^+)=0 e a derivada inicial y'(\pi^+)=1:
y(\pi^+)=C\sin\pi + D\cos\pi = -D=0\implies D=0,
y'(t)=C\cos t - D\sin t\implies y'(\pi^+)=C\cos\pi=-C=1\implies C=-1.
Logo
y(t)=-\sin t,\quad \pi<t<2\pi.

Passo 4

No instante t=2\pi ocorre o segundo impulso. Antes dele
y(2\pi^-)= -\sin(2\pi)=0,\quad y'(2\pi^-)=-\cos(2\pi)=-1.
Então
y'(2\pi^+)=y'(2\pi^-)+1=-1+1=0.
Para 2\pi<t<3\pi a solução homogênea com y(2\pi^+)=0 e y'(2\pi^+)=0 é novamente zero:
y(t)=0,\quad 2\pi<t<3\pi.

Passo 5

No instante t=3\pi vem o terceiro impulso. Antes dele
y(3\pi^-)=0,\quad y'(3\pi^-)=0,
logo
y'(3\pi^+)=0+1=1.
Para t>3\pi a solução homogênea satisfaz y(3\pi^+)=0 e y'(3\pi^+)=1. Escrevendo
y(t)=E\sin t+F\cos t,
impondo
y(3\pi^+)=E\sin(3\pi)+F\cos(3\pi)=-F=0\implies F=0,
y'(3\pi^+)=E\cos(3\pi)=-E=1\implies E=-1.
Logo
y(t)=-\sin t,\quad t>3\pi.

Resposta

A solução é
y(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t<\pi,\\[6pt] -\sin t, & \pi<t<2\pi,\\[6pt] 0, & 2\pi<t<3\pi,\\[6pt] -\sin t, & t>3\pi. \end{cases}
O gráfico de y(t) é a função nula nos intervalos [0,\pi) e (2\pi,3\pi), enquanto nos intervalos (\pi,2\pi) e (3\pi,\infty) segue o perfil de -\sin t.]

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