Expresse a solução do problema de valor inicial
em termos de integrais da forma

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' - y = 1x, y(1)=1,;y'(1)=1
Este é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não--homogêneo. Vamos usar a forma geral
y(x)=yh(x)+yp(x),
onde yh é a solução da homogênea e yp é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - y = 0
com equação característica lambda^2 -1=0, cujas raízes são lambda=1 e lambda=-1. Logo
yh(x)=C1e^x + C2e^-x

Passo 3

Para a variação de parâmetros tomamos como fundamentais y1=e^x e y2=e^-x. O Wronskiano é
W(y1,y2)= e^x & e^-x e^x & -e^-x =-2
As fórmulas de variação de parâmetros dizem
u1'(x)=-f(x),y2(x)W=-tfrac1x e^-x-2=e^-x2x, u2'(x)=f(x),y1(x)W=-e^x2x

Passo 4

Integrando e escolhendo constantes de integração tais que os termos independentes entrem em C1,C2, obtemos
u1(x)=integral1^xe^-t2t,dt, u2(x)=-integral1^xe^t2t,dt
Assim uma solução particular é
yp(x) =e^x,u1(x)+e^-x,u2(x) =e^x2integral1^xe^-tt,dt -e^-x2integral1^xe^tt,dt

Passo 5

A solução geral fica
y(x)=C1e^x + C2e^-x +e^x2integral1^xe^-tt,dt -e^-x2integral1^xe^tt,dt
Impondo y(1)=1 e y'(1)=1, nota--se que as integrais somem em x=1 e leva a
C1=1e, C2=0

Passo 6

Substituindo os valores de C1 e C2 obtemos a solução final em forma de integrais:
y(x) =e^x-1 +e^x2integral1^xe^-tt,dt -e^-x2integral1^xe^tt,dt

Resposta

y(x)=e^x-1 +e^x2integral1^xe^-tt,dt -e^-x2integral1^xe^tt,dt

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