Expresse a solução do problema de valor inicial
em termos de integrais da forma
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
Este é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não--homogêneo. Vamos usar a forma geral
onde
é a solução da homogênea e
é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea associada é
com equação característica
, cujas raízes são
e
. Logo
Passo 3
Para a variação de parâmetros tomamos como fundamentais
e
. O Wronskiano é
As fórmulas de variação de parâmetros dizem
Passo 4
Integrando e escolhendo constantes de integração tais que os termos independentes entrem em
C1,C2 , obtemos
Assim uma solução particular é
Passo 5
A solução geral fica
Impondo
y(1)=1 e
y'(1)=1 , nota--se que as integrais somem em
x=1 e leva a
Passo 6
Substituindo os valores de
C1 e
C2 obtemos a solução final em forma de integrais: