A taxa de variação da temperatura T(t) de um corpo num forno, como função do tempo t, coincide, a menos de valor absoluto, com a diferença de sua temperatura com a temperatura F(t)=t do forno. No instante inicial t0=0 o corpo encontra-se à temperatura T0. Sabendo-se que no instante t=9 a temperatura medida do corpo vale 8 , encontre o valor de T0. Resposta: T0=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a taxa de variação da temperatura de um corpo dentro de um forno. A gente precisa entender como a temperatura do corpo muda ao longo do tempo, dado que a temperatura do forno também varia com o tempo. O conteúdo envolve equações diferenciais e como resolvê-las usando condições iniciais. Vamos precisar montar a equação que relaciona a taxa de variação da temperatura do corpo com a diferença entre a temperatura do corpo e a do forno.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o enunciado para uma equação matemática. A taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo é representada por $ \frac{dT}{dt} $. Segundo o exercício, essa taxa coincide, a menos de valor absoluto, com a diferença entre a temperatura do corpo $ T(t) $ e a temperatura do forno $ F(t) = t $. Isso significa que:
dTdt
Mas como estamos interessados na mudança natural da temperatura, vamos considerar a situação em que a temperatura do corpo está diminuindo se for maior que a do forno. Então, podemos escrever:
T(t)

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
dTdt + T(t) = t
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o coeficiente de $ T(t) $, que é 1, e calculamos o fator integrante $ \mu(t) $:
T(t)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ e^{t} $:
e^t
Isso simplifica para:
e^t cdot dTdt + e^t cdot T(t) = t cdot e^t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
O lado esquerdo fica:
integral ddt ( T(t) cdot e^t ) dt = integral t cdot e^t , dt
Para o lado direito, usamos integração por partes:
T(t) cdot e^t
Então, temos:
integral t cdot e^t , dt = t cdot e^t - e^t + C

Passo 6

Dividimos tudo por $ e^{t} $ para isolar $ T(t) $:
e^t

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial. No instante $ t_{0} = 0 $, a temperatura do corpo é $ T_{0} $:
t0 = 0
Então:
T0

Passo 8

Substituímos $ C $ na expressão de $ T(t) $:
C

Passo 9

Sabemos que no instante $ t = 9 $, a temperatura medida é 8:
t = 9
Simplificando:
8 = 9 - 1 + (T0 + 1) cdot e^-9
Subtraímos 8 de ambos os lados:
8 = 8 + (T0 + 1) cdot e^-9
Como $ e^{-9} $ é diferente de zero, concluímos que:
0 = (T0 + 1) cdot e^-9

Resposta

$ T_{0} = -1 $

Exercícios relacionados