A taxa de variação da temperatura
de um corpo num forno, como função do tempo
, coincide, a menos de valor absoluto, com a diferença de sua temperatura com a temperatura
do forno. No instante inicial
o corpo encontra-se à temperatura
. Sabendo-se que no instante
a temperatura medida do corpo vale 8 , encontre o valor de
. Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a taxa de variação da temperatura de um corpo dentro de um forno. A gente precisa entender como a temperatura do corpo muda ao longo do tempo, dado que a temperatura do forno também varia com o tempo. O conteúdo envolve equações diferenciais e como resolvê-las usando condições iniciais. Vamos precisar montar a equação que relaciona a taxa de variação da temperatura do corpo com a diferença entre a temperatura do corpo e a do forno.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o enunciado para uma equação matemática. A taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo é representada por $ \frac{dT}{dt} $. Segundo o exercício, essa taxa coincide, a menos de valor absoluto, com a diferença entre a temperatura do corpo $ T(t) $ e a temperatura do forno $ F(t) = t $. Isso significa que:
Mas como estamos interessados na mudança natural da temperatura, vamos considerar a situação em que a temperatura do corpo está diminuindo se for maior que a do forno. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o coeficiente de $ T(t) $, que é 1, e calculamos o fator integrante $ \mu(t) $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ e^{t} $:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a $ t $:
O lado esquerdo fica:
Para o lado direito, usamos integração por partes:
Então, temos:
Passo 6
Dividimos tudo por $ e^{t} $ para isolar $ T(t) $:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial. No instante $ t_{0} = 0 $, a temperatura do corpo é $ T_{0} $:
Então:
Passo 8
Substituímos $ C $ na expressão de $ T(t) $:
Passo 9
Sabemos que no instante $ t = 9 $, a temperatura medida é 8:
Simplificando:
Subtraímos 8 de ambos os lados:
Como $ e^{-9} $ é diferente de zero, concluímos que:
Resposta
$ T_{0} = -1 $