Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
integral0^1 integraly^1 sen(x^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
integral0^1 integraly^1 sinl(x^2r),dx,dy
Isso envolve entender a região de integração no plano (x,y), aplicar a troca de ordem e então calcular a integral resultante. Vamos usar conceitos de integração dupla e técnica de mudança de ordem de integração.

Passo 2

A região de integração é dada por
0 <= y <= 1, y <= x <= 1
No plano (x,y), isso corresponde ao triângulo abaixo da reta x=1 e acima da reta y=0, limitado por y=x. Ao inverter, o parâmetro x varia de 0 a 1 e, para cada x, o y varia de 0 a x.

Passo 3

Reescrevendo a integral com a ordem invertida, obtemos
integralx=0^1integraly=0^x sinl(x^2r),dy,dx

Passo 4

Como sin(x^2) não depende de y, fazemos primeiro a integral interna em y:
integraly=0^x sinl(x^2r),dy = sinl(x^2r) integral0^x dy = x,sinl(x^2r)
Logo a integral passa a ser
integral0^1 x,sinl(x^2r),dx

Passo 5

Para calcular
integral0^1 x,sinl(x^2r),dx
utilizamos a substituição
u = x^2, du = 2x,dx, x,dx = du2
Quando x=0, u=0; quando x=1, u=1. Assim,
integral0^1 x,sinl(x^2r),dx = integralu=0^1 sin(u) du2 = 12 integral0^1 sin(u),du

Passo 6

Integramos agora em u:
12 integral0^1 sin(u),du = 12 l[-cos(u)r]0^1 = -12 l(cos(1) - cos(0)r) = 1 - cos(1)2

Resposta

1 - cos(1)2

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