Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
Isso envolve entender a região de integração no plano
, aplicar a troca de ordem e então calcular a integral resultante. Vamos usar conceitos de integração dupla e técnica de mudança de ordem de integração.
Passo 2
A região de integração é dada por
No plano
, isso corresponde ao triângulo abaixo da reta
e acima da reta
, limitado por
. Ao inverter, o parâmetro
varia de 0 a 1 e, para cada
, o
varia de 0 a
.
Passo 3
Reescrevendo a integral com a ordem invertida, obtemos
Passo 4
Como
não depende de
, fazemos primeiro a integral interna em
:
Logo a integral passa a ser
Passo 5
Para calcular
utilizamos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Assim,
Passo 6
Integramos agora em
: