Expresse como um único logaritmo:
2 \log _{5} 5

Passo 1

O enunciado pede para expressar como um único logaritmo a expressão 2 \log_{5} 5.
Informações dadas: temos o número multiplicando o logaritmo igual a 2 e a expressão dentro do logaritmo é \log_{5} 5. Não há nada mais no enunciado.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade fundamental dos logaritmos: a propriedade do expoente (regra do logaritmo-potência). Ela diz que, para base a>0, a\neq1, e para b>0 e k\in\mathbb{R},
k\log_{a} b = \log_{a}\bigl(b^{k}\bigr).
Explicando: se definirmos x=\log_{a} b, então por definição a^{x}=b. Elevando ambos os lados à potência k obtemos a^{kx}=(a^{x})^{k}=b^{k}. Pela definição de logaritmo, isso significa \log_{a}(b^{k})=kx, ou seja \log_{a}(b^{k})=k\log_{a}b. É assim que a propriedade é demonstrada.

Passo 3

Aplique a propriedade ao nosso caso com a=5, b=5 e k=2. Pelo que vimos,
2\log_{5}5 = \log_{5}\bigl(5^{2}\bigr).

Passo 4

Calcule a potência dentro do logaritmo: 5^{2}=25. Assim a expressão fica
\log_{5}25.

Passo 5

Observação adicional (útil na prova): como \log_{5}5=1, também podemos ver 2\log_{5}5=2\cdot1=2. E de fato \log_{5}25=2, mas a forma pedido — um único logaritmo — é \log_{5}25.

Resposta

\log_{5}25

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