Expresse como um único logaritmo:
\log _{3} 9-\log _{3} 3

Passo 1

O enunciado pede para escrever como um único logaritmo a expressão \log_{3} 9 - \log_{3} 3.
Informações dadas: os dois logaritmos têm a mesma base, que é \,3, e os argumentos são \,9 e \,3.
O que devemos entregar: uma única expressão do tipo \log_{3}(\text{alguma coisa}) equivalente à expressão dada, e simplificar se possível.

Passo 2

Propriedade fundamental que vamos usar (explicação didática): quando temos dois logaritmos com a mesma base, a diferença deles corresponde ao logaritmo da divisão dos argumentos. Em forma simbólica:
\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right).
Por que isso é verdade? Seja \log_{a} x = u e \log_{a} y = v. Isso significa que a^{u}=x e a^{v}=y. Então
u-v=\log_{a} x - \log_{a} y.
Mas a^{u-v} = \frac{a^{u}}{a^{v}} = \frac{x}{y}, logo u-v=\log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right). Assim a propriedade está demonstrada. Aqui a é a base (qualquer número positivo diferente de 1), x e y são os argumentos positivos dos logaritmos.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso (mesma base \,3):
\log_{3} 9 - \log_{3} 3 = \log_{3}\!\left(\frac{9}{3}\right).
Esse passo apenas usa a fórmula do passo anterior com x=9 e y=3.

Passo 4

Simplificamos a fração dentro do logaritmo:
\frac{9}{3}=3,
portanto
\log_{3}\!\left(\frac{9}{3}\right)=\log_{3} 3.

Passo 5

Agora avaliamos \log_{3} 3. Pelo significado do logaritmo, \log_{a} a = 1 para qualquer base a>0 diferente de 1, porque a^{1}=a. No nosso caso,
\log_{3} 3 = 1.
Como alternativa de verificação: \log_{3} 9 = \log_{3} 3^{2}=2 e \log_{3} 3=1, então 2-1=1.

Resposta

1

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