Expresse como um único logaritmo:
Passo 1
O enunciado pede para escrever como um único logaritmo a expressão
.
Informações dadas: os dois logaritmos têm a mesma base, que é , e os argumentos são
e
.
O que devemos entregar: uma única expressão do tipo equivalente à expressão dada, e simplificar se possível.
Informações dadas: os dois logaritmos têm a mesma base, que é
O que devemos entregar: uma única expressão do tipo
Passo 2
Propriedade fundamental que vamos usar (explicação didática): quando temos dois logaritmos com a mesma base, a diferença deles corresponde ao logaritmo da divisão dos argumentos. Em forma simbólica:
Por que isso é verdade? Seja
e
. Isso significa que
e
. Então
Mas
, logo
. Assim a propriedade está demonstrada. Aqui
é a base (qualquer número positivo diferente de 1),
e
são os argumentos positivos dos logaritmos.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso (mesma base
):
Esse passo apenas usa a fórmula do passo anterior com
e
.
Passo 4
Simplificamos a fração dentro do logaritmo:
portanto
Passo 5
Agora avaliamos
. Pelo significado do logaritmo,
para qualquer base
diferente de
, porque
. No nosso caso,
Como alternativa de verificação:
e
, então
.