Expresse como um único logaritmo:
\log _{7} 49+\log _{7} 7

Passo 1

O enunciado pede: expressar como um único logaritmo a soma \log_{7}49+\log_{7}7.
Informações dadas: os dois termos são logaritmos de mesma base 7; os argumentos são 49 e 7.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa um logaritmo. A definição é: \log_{b}a=c significa que b^{c}=a. Aqui b é a base, a é o argumento (o número do qual estamos tirando o logaritmo) e c é o resultado do logaritmo. Exemplo rápido: \log_{2}8=3 porque 2^{3}=8.

Passo 3

Há uma propriedade fundamental dos logaritmos que nos permite somá-los: para x>0 e y>0,
\log_{b}x+\log_{b}y=\log_{b}(x\cdot y).
Justificativa curta: se \log_{b}x=p e \log_{b}y=q, então x=b^{p} e y=b^{q}; portanto xy=b^{p}b^{q}=b^{p+q} e logo \log_{b}(xy)=p+q.

Passo 4

Como as duas parcelas têm a mesma base 7, podemos aplicar a propriedade acima diretamente:
\log_{7}49+\log_{7}7=\log_{7}\bigl(49\cdot 7\bigr).

Passo 5

Agora simplificamos o produto dentro do logaritmo. Observando potências de 7:
49=7^{2}\quad\text{e}\quad 7=7^{1},
logo
49\cdot 7 = 7^{2}\cdot 7^{1}=7^{2+1}=7^{3}.
Portanto o argumento do logaritmo fica 7^{3}, isto é,
\log_{7}\bigl(49\cdot 7\bigr)=\log_{7}\bigl(7^{3}\bigr).

Resposta

\log_{7}343

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