Expresse como um único logaritmo:
\log _{2} 4+\log _{2} 8

Passo 1

O enunciado dá a expressão \log_{2} 4 + \log_{2} 8 e pede que a expressemos como um único logaritmo.
Informações relevantes fornecidas: os dois termos têm a mesma base, que é 2; os argumentos são 4 e 8.

Passo 2

Propriedade fundamental que vamos usar: quando dois logaritmos têm a mesma base, a soma deles é o logaritmo do produto dos argumentos. Em forma simbólica:
\log_{a} x + \log_{a} y = \log_{a} (x y).
Vou justificar rapidinho por que isso é verdade: se \log_{a} x = m e \log_{a} y = n, então por definição x = a^{m} e y = a^{n}. Multiplicando,
x y = a^{m} a^{n} = a^{m+n}.
Tomando logaritmo na base a dos dois lados, obtemos \log_{a}(x y) = m+n = \log_{a} x + \log_{a} y. Pronto — propriedade explicada.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, como as bases são ambas 2, podemos juntar:
\log_{2} 4 + \log_{2} 8 = \log_{2} (4\cdot 8).

Passo 4

Calcule o produto 4\cdot 8.
4\cdot 8 = 32,
então
\log_{2} 4 + \log_{2} 8 = \log_{2} 32.

Passo 5

Se quiser (opcional para verificação), podemos simplificar ainda mais porque 32 é uma potência de 2: 32 = 2^{5}. Portanto
\log_{2} 32 = \log_{2} (2^{5}) = 5.
Isso só confirma que o logaritmo unido \log_{2} 32 vale 5.

Resposta

\log_{2} 32

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