Calcular os autovalores e autovetores correspondente a matriz A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: vamos precisar montar o polinômio característico via determinante de A - \lambda I e então resolver para \lambda. Em seguida, para cada autovalor, resolveremos (A - \lambda I)v = 0 para encontrar o autovetor correspondente.]

Passo 2

Montamos o polinômio característico pela definição
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] 3 & 4-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(4-\lambda) - 3.]

Passo 3

Simplificando o determinante:
(2-\lambda)(4-\lambda) - 3 = 8 -2\lambda -4\lambda + \lambda^2 - 3 = \lambda^2 -6\lambda +5.
Então, o polinômio característico é
\lambda^2 -6\lambda +5 = 0,
cuja soma das raízes é 6 e o produto é 5. Resolvendo, encontramos
\lambda = 1 \quad\text{e}\quad \lambda = 5.

Passo 4

Para \lambda = 1, resolvemos
(A - I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2-1 & 1 \\[4pt] 3 & 4-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
A primeira equação dá x + y = 0, logo y = -x. Podemos escolher x=1, obtendo o autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda = 5, resolvemos
(A - 5I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2-5 & 1 \\[4pt] 3 & 4-5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -3x + y = 0, isto é, y = 3x. Escolhendo x=1, o autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores de A são \lambda_1 = 1 e \lambda_2 = 5, com autovetores associados
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ -1\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix}.

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