Questão 14
Uma bola é chutada a partir de um ponto de uma região plana e horizontal, onde o campo gravitacional é considerado uniforme, segundo a direção vertical descendente. A trajetória descrita pela bola é uma parábola,
e a resistência do ar é desprezível. Considerando os valores da tabela abaixo, indique qual desses 5 ângulos representa o valor aproximado do ângulo
de lançamento da bola.
Passo 1
O enunciado pede para descobrir o ângulo de lançamento
da bola, usando a informação geométrica do desenho e a tabela. Informações dadas e o que precisamos usar:
- A trajetória é parabólica, sem resistência do ar e com
. - A distância horizontal entre lançamento e chegada é
(isto é, o alcance vale ). - A altura máxima da trajetória é
. - A tabela fornece valores de
, e para ângulos candidatos: . - Pergunta: qual desses ângulos representa aproximadamente
?
Passo 2
Vamos recordar como representar a velocidade inicial em componentes (é um passo chave para projetil):
- Seja
a velocidade inicial e o ângulo de lançamento medido acima da horizontal. - A componente horizontal da velocidade é
. - A componente vertical inicial é
.
Essas componentes nos permitem separar o movimento em horizontal (velocidade constante) e vertical (movimento uniformemente retardado pela gravidade).
Passo 3
Fórmula do alcance
(distância horizontal entre lançamento e pouso no mesmo nível):
- O tempo total de voo
vem do movimento vertical: o projétil sobe e desce, o tempo de subida é e o de descida igual, então
- O alcance é
. Substituindo e ,
- Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma conhecida
Passo 4
Fórmula da altura máxima
:
- No ponto mais alto a velocidade vertical zera. Usando a equação de energia cinética/quinética vertical (ou
com ):
Assim,
Passo 5
Eliminando
entre
e
para achar relação entre
,
e
:
- Da expressão do alcance,
- Substituindo em
:
- Simplificando
:
- Usando
, simplificamos:
Portanto a relação útil é
Passo 6
Agora aplicamos os números do enunciado:
e
. Substituindo em
:
Corta-se
(não é zero), então
Passo 7
Usando a tabela fornecida (peguei o valor de
diretamente da tabela do enunciado):
Como
, o ângulo que corresponde é
.