Questão 14

Uma bola é chutada a partir de um ponto de uma região plana e horizontal, onde o campo gravitacional é considerado uniforme, segundo a direção vertical descendente. A trajetória descrita pela bola é uma parábola, |\overrightarrow{\mathrm{g}}|=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e a resistência do ar é desprezível. Considerando os valores da tabela abaixo, indique qual desses 5 ângulos representa o valor aproximado do ângulo \alpha de lançamento da bola.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir o ângulo de lançamento \alpha da bola, usando a informação geométrica do desenho e a tabela. Informações dadas e o que precisamos usar:
  • A trajetória é parabólica, sem resistência do ar e com |\overrightarrow{\mathrm{g}}|=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • A distância horizontal entre lançamento e chegada é x (isto é, o alcance R vale x).
  • A altura máxima da trajetória é 0{,}30\,x.
  • A tabela fornece valores de \operatorname{sen}, \cos e \tan para ângulos candidatos: 15^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 50^\circ, 75^\circ.
  • Pergunta: qual desses ângulos representa aproximadamente \alpha?

Passo 2

Vamos recordar como representar a velocidade inicial em componentes (é um passo chave para projetil):
  • Seja v a velocidade inicial e \alpha o ângulo de lançamento medido acima da horizontal.
  • A componente horizontal da velocidade é v_x = v\cos\alpha.
  • A componente vertical inicial é v_y = v\operatorname{sen}\alpha.
    Essas componentes nos permitem separar o movimento em horizontal (velocidade constante) e vertical (movimento uniformemente retardado pela gravidade).

Passo 3

Fórmula do alcance R (distância horizontal entre lançamento e pouso no mesmo nível):
  • O tempo total de voo T vem do movimento vertical: o projétil sobe e desce, o tempo de subida é v_y/g e o de descida igual, então
T = \frac{2v\operatorname{sen}\alpha}{g}.
  • O alcance é R = v_x\cdot T. Substituindo v_x e T,
R = v\cos\alpha\cdot\frac{2v\operatorname{sen}\alpha}{g} = \frac{v^2\cdot 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha}{g}.
  • Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen}(2\alpha)=2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha, obtemos a forma conhecida
R = \frac{v^2\operatorname{sen}(2\alpha)}{g}.

Passo 4

Fórmula da altura máxima H:
  • No ponto mais alto a velocidade vertical zera. Usando a equação de energia cinética/quinética vertical (ou v_f^2=v_i^2-2gh com v_f=0):
0 = (v\operatorname{sen}\alpha)^2 - 2gH \quad\Rightarrow\quad H = \frac{(v\operatorname{sen}\alpha)^2}{2g}.
Assim,
H = \frac{v^2\operatorname{sen}^2\alpha}{2g}.

Passo 5

Eliminando v^2 entre R e H para achar relação entre H, R e \alpha:
  • Da expressão do alcance,
v^2 = \frac{gR}{\operatorname{sen}(2\alpha)}.
  • Substituindo em H:
H = \frac{1}{2g}\cdot v^2\operatorname{sen}^2\alpha = \frac{1}{2g}\cdot\frac{gR}{\operatorname{sen}(2\alpha)}\operatorname{sen}^2\alpha.
  • Simplificando g:
H = \frac{R\operatorname{sen}^2\alpha}{2\operatorname{sen}(2\alpha)}.
  • Usando \operatorname{sen}(2\alpha)=2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha, simplificamos:
H = \frac{R\operatorname{sen}^2\alpha}{2\cdot 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha} = \frac{R\operatorname{sen}\alpha}{4\cos\alpha} = \frac{R}{4}\tan\alpha.
Portanto a relação útil é
H = \frac{R}{4}\tan\alpha.

Passo 6

Agora aplicamos os números do enunciado: H=0{,}30\,x e R=x. Substituindo em H=\dfrac{R}{4}\tan\alpha:
0{,}30\,x = \frac{x}{4}\tan\alpha.
Corta-se x (não é zero), então
0{,}30 = \frac{1}{4}\tan\alpha \quad\Rightarrow\quad \tan\alpha = 4\cdot 0{,}30 = 1{,}2.

Passo 7

Usando a tabela fornecida (peguei o valor de \tan diretamente da tabela do enunciado):
  • \tan 15^\circ = 0{,}27
  • \tan 30^\circ = 0{,}58
  • \tan 45^\circ = 1{,}0
  • \tan 50^\circ = 1{,}2
  • \tan 75^\circ = 3{,}7
Como \tan\alpha = 1{,}2, o ângulo que corresponde é \alpha \approx 50^\circ.

Resposta

50^\circ

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