As expressões
e
definem, respectivamente, as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico. Obtenha a Série de Maclaurin para estas funções. Observe que neste caso podemos aplicar o importante resultado de séries de potências que diz que a soma de duas séries de potências é convergente no intervalo em que ambas as séries são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para obter as séries de Maclaurin de
e
, definidas em termos de
e
. O assunto é desenvolvimento em série de potências (Maclaurin), e vamos usar a expansão conhecida de
.
Passo 2
A série de Maclaurin de
é dada por:
Passo 3
Substituindo
por
na série acima, obtemos
Passo 4
Para
, somamos termo a termo e dividimos por 2. Observe que na soma os termos de índice ímpar se cancelam e ficam apenas os pares:
Passo 5
Como
se
é ímpar e
se
é par, podemos reindexar com
:
Passo 6
Para
, subtraímos termo a termo e dividimos por 2. Agora os termos de índice par se cancelam e ficam apenas os ímpares:
Passo 7
Como
se
é par e
se
é ímpar, reindexamos com
:
Resposta
As séries de Maclaurin são: