As expressões cosh (x)=e^x+e^-x2 e sinh (x)=e^x-e^-x2 definem, respectivamente, as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico. Obtenha a Série de Maclaurin para estas funções. Observe que neste caso podemos aplicar o importante resultado de séries de potências que diz que a soma de duas séries de potências é convergente no intervalo em que ambas as séries são convergentes.

Passo 1

O enunciado pede para obter as séries de Maclaurin de cosh(x) e sinh(x), definidas em termos de e^x e e^-x. O assunto é desenvolvimento em série de potências (Maclaurin), e vamos usar a expansão conhecida de e^x.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^x é dada por:
e^x = sumn=0^infty x^nn!

Passo 3

Substituindo x por -x na série acima, obtemos
e^-x = sumn=0^infty (-x)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^nn!

Passo 4

Para cosh(x) = tfrace^x + e^-x2, somamos termo a termo e dividimos por 2. Observe que na soma os termos de índice ímpar se cancelam e ficam apenas os pares:
cosh(x) = 12sumn=0^infty l(1 + (-1)^nr)x^nn!

Passo 5

Como 1 + (-1)^n = 0 se n é ímpar e 2 se n é par, podemos reindexar com n=2k:
cosh(x) = sumk=0^infty x^2k(2k)!

Passo 6

Para sinh(x) = tfrace^x - e^-x2, subtraímos termo a termo e dividimos por 2. Agora os termos de índice par se cancelam e ficam apenas os ímpares:
sinh(x) = 12sumn=0^infty l(1 - (-1)^nr)x^nn!

Passo 7

Como 1 - (-1)^n = 0 se n é par e 2 se n é ímpar, reindexamos com n=2k+1:
sinh(x) = sumk=0^infty x^2k+1(2k+1)!

Resposta

As séries de Maclaurin são:
cosh(x) = sumk=0^infty x^2k(2k)!,
sinh(x) = sumk=0^infty x^2k+1(2k+1)!

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