Para as funções a seguir, mostre que a função f^prime(z) não existe em ponto algum.
f(z)=z-barz

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada complexa de
f(z)=z-z
não existe em nenhum ponto. O conteúdo envolvido aqui é diferenciabilidade de funções complexas e vamos usar as condições de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Para aplicar as condições de Cauchy–Riemann, escrevemos z em termos de x e y: seja
z=x+iy, z=x-iy
Portanto
f(z)=z-z=(x+iy)-(x-iy)=2iy

Passo 3

Separamos em parte real u(x,y) e parte imaginária v(x,y):
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y)
Aqui
u(x,y)=0, v(x,y)=2y

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais necessárias:
ux=partial upartial x=0, uy=partial upartial y=0,
vx=partial vpartial x=0, vy=partial vpartial y=2

Passo 5

As condições de Cauchy–Riemann exigem
ux=vye uy=-vx
Substituindo as derivadas achadas, vemos que
0=vy=2\né falso. Mesmo que a segunda equação dê 0=-0, a primeira já falha em todo ponto. Logo, f não é diferenciável em lugar nenhum.

Resposta

A derivada f′(z) não existe em nenhum ponto do plano complexo, pois f não satisfaz as condições de Cauchy–Riemann em ponto algum.

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