Para as funções a seguir, mostre que a função
não existe em ponto algum.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a derivada complexa de
não existe em nenhum ponto. O conteúdo envolvido aqui é diferenciabilidade de funções complexas e vamos usar as condições de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Para aplicar as condições de Cauchy–Riemann, escrevemos z em termos de x e y: seja
Portanto
Passo 3
Separamos em parte real u(x,y) e parte imaginária v(x,y):
Aqui
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
As condições de Cauchy–Riemann exigem
Substituindo as derivadas achadas, vemos que
Resposta
A derivada f′(z) não existe em nenhum ponto do plano complexo, pois f não satisfaz as condições de Cauchy–Riemann em ponto algum.