Encontre todas as raízes complexas das equações abaixo.
(f) s^3+s^2+s+1=0

Passo 1

Neste exercício, temos a equação cúbica s^3+s^2+s+1=0. O conteúdo principal aqui é fatoração de polinômios e uso do Teorema Fundamental da Álgebra para encontrar as raízes complexas.

Passo 2

Podemos aplicar fatoração por agrupamento. Primeiro, agrupamos os dois primeiros termos e os dois últimos:
s^3+s^2+s+1 = (s^3+s^2) + (s+1) = s^2(s+1) + 1,(s+1)

Passo 3

Agora que temos fator comum (s+1), podemos escrever:
s^3+s^2+s+1 = (s+1)(s^2+1)

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, as raízes do produto são as raízes de cada fator separado. Primeiro,
s+1=0 implies s=-1
Em seguida,
s^2+1=0 implies s^2=-1 implies s=pm j

Resposta

As raízes da equação s^3+s^2+s+1=0 são s=-1, s=j e s=-j.

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