Sejam P1, P2, Q1, Q2 propriedades referentes a elementos de um conjunto universo U e suponha que P1 e P2 esgotam todas as possibilidades dos elementos de U, e suponha ainda que Q1 e Q2 são incompatíveis (isto é, excluem-se mutuamente). Suponha finalmente que P1 Rightarrow Q1 e P2 Rightarrow Q2. Prove que valem as reciprocas: Q1 Rightarrow P1 e Q2 Rightarrow P2.

Passo 1

O enunciado trata de propriedades P1,P2,Q1,Q2 sobre um universo U com estas hipóteses:
  1. P1 e P2 esgotam todas as possibilidades em U, isto é, para todo xinU vale
P1(x);lor;P2(x)
  1. Q1 e Q2 são incompatíveis, ou seja, para todo xinU
lnotl(Q1(x)land Q2(x)r)
  1. Há as implicações
P1(x);Rightarrow;Q1(x), P2(x);Rightarrow;Q2(x)
Queremos provar as recíprocas
Q1(x);Rightarrow;P1(x), Q2(x);Rightarrow;P2(x)
O conteúdo é lógica proposicional: usamos exaustão de casos e prova por contradição (ou contrapositiva).

Passo 2

Prova de Q1Rightarrow P1.
Seja xinU e suponha Q1(x).
Pelo esgotamento, temos
P1(x);lor;P2(x)
– Se P1(x) vale, terminamos.
– Se P2(x) vale, então pela hipótese segue Q2(x). Mas isso junto com Q1(x) violaria a incompatibilidade de Q1 e Q2.
Logo a segunda alternativa é impossível, restando
P1(x)
Isto mostra Q1(x)Rightarrow P1(x).

Passo 3

Prova de Q2Rightarrow P2.
Seja xinU e suponha Q2(x).
Pelo esgotamento,
P1(x);lor;P2(x)
– Se P2(x) vale, terminamos.
– Se P1(x) vale, então Q1(x) vale, o que junto com Q2(x) contradiz a incompatibilidade.
Logo P1(x) não pode ocorrer, ficando
P2(x)
Assim Q2(x)Rightarrow P2(x).

Resposta

As recíprocas são verdadeiras:
Q1;Rightarrow;P1 e Q2;Rightarrow;P2

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