Sejam
propriedades referentes a elementos de um conjunto universo
e suponha que
e
esgotam todas as possibilidades dos elementos de
, e suponha ainda que
e
são incompatíveis (isto é, excluem-se mutuamente). Suponha finalmente que
e
. Prove que valem as reciprocas:
e
.
Passo 1
O enunciado trata de propriedades
sobre um universo
com estas hipóteses:
-
e esgotam todas as possibilidades em , isto é, para todo vale
-
e são incompatíveis, ou seja, para todo
- Há as implicações
Queremos provar as recíprocas
O conteúdo é lógica proposicional: usamos exaustão de casos e prova por contradição (ou contrapositiva).
Passo 2
Prova de
.
Seja e suponha
.
Pelo esgotamento, temos
Seja
Pelo esgotamento, temos
– Se
vale, terminamos.
– Se vale, então pela hipótese segue
. Mas isso junto com
violaria a incompatibilidade de
e
.
Logo a segunda alternativa é impossível, restando
– Se
Logo a segunda alternativa é impossível, restando
Isto mostra
.
Passo 3
Prova de
.
Seja e suponha
.
Pelo esgotamento,
Seja
Pelo esgotamento,
– Se
vale, terminamos.
– Se vale, então
vale, o que junto com
contradiz a incompatibilidade.
Logo não pode ocorrer, ficando
– Se
Logo
Assim
.
Resposta
As recíprocas são verdadeiras: