Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas?
(a) A cdot(B cdot C)
(b) A times(B cdot C)
© A cdot(B times C)
(d) A times(B times C)
(e) A+(B cdot C)
(f) A+(B times C)
(g) 5+A
(h) 5+(B cdot C)
(i) 5+(B times C)
(j) (A cdot B)+(B cdot C)

Passo 1

Beleza, o exercício quer saber quais dessas “brincadeiras” com vetores e números estão permitidas segundo as regras de álgebra vetorial. O tema é “operações com vetores”: produto escalar (dot), produto vetorial (cross) e soma. Para resolver, a gente precisa lembrar:
  • O produto escalar vec Xcdotvec Y só funciona entre dois vetores e dá um escalar.
  • O produto vetorial vec Xtimesvec Y só funciona entre dois vetores e dá outro vetor.
  • A soma só rola entre coisas do mesmo tipo: escalar + escalar ou vetor + vetor.

Passo 2

Vamos detalhar a teoria do que é permitido:
  1. vec Vcdot vec W exige que vec V e vec W sejam vetores; resultado é escalar.
  2. vec Vtimes vec W exige vetores; resultado é vetor.
  3. alpha+beta entre escalares alpha,beta é OK e dá escalar; vec V+vec W é OK e dá vetor; misturar escalar com vetor (tipo alpha+vec V) não vale.

Passo 3

(a) vec A cdot (vec B cdot vec C)
  • Aqui dentro o vec Bcdotvec C já virou escalar.
  • Aí você tenta fazer vec Acdot(escalar), mas cdot só existe entre vetores.
    => INCORRETA.
(b) vec A times (vec B cdot vec C)
  • Mesmo pepino: vec Bcdotvec C é escalar, e você não faz vetor × escalar.
    => INCORRETA.

Passo 4

© vec A cdot (vec B times vec C)
  • vec Btimesvec C é vetor, e aí faz sentido ter vec Acdot(vetor).
    => CORRETA (é o famoso produto misto, resulta em escalar).
(d) vec A times (vec B times vec C)
  • vec Btimesvec C é vetor, e vetor × vetor faz sentido.
    => CORRETA (resultado é vetor).

Passo 5

(e) vec A + (vec B cdot vec C)
  • vec Bcdotvec C é escalar, não dá pra somar vetor + escalar.
    => INCORRETA.
(f) vec A + (vec B times vec C)
  • vec Btimesvec C é vetor, e vetor + vetor é de boa.
    => CORRETA.

Passo 6

(g) 5 + vec A
  • Aqui é escalar + vetor, não rola.
    => INCORRETA.
(h) 5 + (vec B cdot vec C)
  • vec Bcdotvec C é escalar, então escalar + escalar é tranquilo.
    => CORRETA.
(i) 5 + (vec B times vec C)
  • vec Btimesvec C é vetor, misturar escalar + vetor não vale.
    => INCORRETA.

Passo 7

(j) (vec A cdot vec B) + (vec B cdot vec C)
  • Cada pedacinho é escalar, e escalar + escalar tá valendo.
    => CORRETA.

Resposta

Expressões corretas:
© vec A cdot (vec B times vec C)
(d) vec A times (vec B times vec C)
(f) vec A + (vec B times vec C)
(h) 5 + (vec B cdot vec C)
(j) (vec A cdot vec B) + (vec B cdot vec C)
Expressões incorretas e por quê:
(a), (b): tentam usar dot ou cross com escalar.
(e): soma vetor + escalar.
(g): soma escalar + vetor.
(i): soma escalar + vetor.

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