Exprima cada um dos números complexos na forma polar:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expressar o número complexo $ \mathrm{z}_{2} = \left(\sqrt{2} + \sqrt{2j}\right)^{50} $ na forma polar. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como a forma retangular e a forma polar, além de propriedades de potências de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do parênteses: $ \sqrt{2j} $. Sabemos que $ j $ é a unidade imaginária, onde $ j^2 = -1 $. Para encontrar $ \sqrt{2j} $, podemos escrever $ j $ em forma polar.
Passo 3
O número $ j $ na forma polar é $ e^{j\frac{\pi}{2}} $, pois tem módulo 1 e argumento $ \frac{\pi}{2} $ (90 graus). Assim, $ \sqrt{2j} = \sqrt{2} \cdot e^{j\frac{\pi}{4}} $, já que a raiz quadrada de um número na forma polar multiplica o argumento por $ \frac{1}{2} $.
Passo 4
Agora, vamos converter $ \sqrt{2j} $ de volta para a forma retangular (a + bj):
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original:
Agora, temos $ \sqrt{2} + 1 $ na parte real e $ 1 $ na parte imaginária.
Passo 6
Vamos representar $ \mathrm{z}_{2} $ na forma polar antes de elevar à potência. Primeiro, encontramos o módulo $ r $ e o argumento $ \theta $:
Passo 7
Agora, aplicamos a propriedade de potências de números complexos na forma polar, que diz que $ \left(r e{j\theta}\right)n = r^n e^{j n \theta} $. Assim:
Passo 8
Finalmente, substituímos os valores de $ r $ e $ \theta $ na expressão acima para obter a forma polar de $ \mathrm{z}_{2} $:
Resposta
A forma polar de $ \mathrm{z}_{2} $ é: