Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
Vamos resolver a equação por séries de potências em torno de
. O conteúdo é EDOs com coeficientes analíticos e séries de potências, e vamos precisar propor
, calcular
e
e igualar coeficientes de potências de
.
Passo 2
Supondo
, temos
Passo 3
Substituindo na EDO
, obtemos
Passo 4
Distribuindo os termos e reindexando para coletar
:
Passo 5
Como
, o coeficiente de
dá a relação de recorrência
ou seja
Passo 6
Temos então duas constantes livres:
e
. A série de termo par (escolhendo
) vem de conectar
e gera solução infinita, e a de termo ímpar (escolhendo
) gera um polinômio, pois para
aparece fator
e truncamento. Calculando primeiros coeficientes:
– Série par: ,
,
, …
– Série ímpar: ,
(e todos superiores zero).
– Série par:
– Série ímpar:
Passo 7
Logo as duas soluções independentes podem ser tomadas como
Passo 8
Portanto a solução geral é combinação linear destas duas séries.
Resposta
\displaystyle y(x)=C_1\Bigl(1+9x2+\tfrac{15}{2}x4-\tfrac{7}{2}x6+\cdots\Bigr)+C_2\Bigl(x+\tfrac{8}{3}x3\Bigr),\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}.