Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
(2 x^2+1) y^prime prime+2 x y^prime-18 y=0.

Passo 1

Vamos resolver a equação por séries de potências em torno de x=0. O conteúdo é EDOs com coeficientes analíticos e séries de potências, e vamos precisar propor y=sumn=0^infty an x^n, calcular y' e y'' e igualar coeficientes de potências de x.

Passo 2

Supondo y=sumn=0^infty an x^n, temos
y'=sumn=1^infty n,an x^n-1, y''=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2

Passo 3

Substituindo na EDO (2x^2+1)y''+2x y'-18y=0, obtemos
(2x^2+1)sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2 + 2xsumn=1^infty n an x^n-1 -18sumn=0^infty an x^n =0

Passo 4

Distribuindo os termos e reindexando para coletar x^n:
sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n + sumn=0^infty 2n(n-1)an x^n + sumn=0^infty 2n an x^n -18sumn=0^infty an x^n=0

Passo 5

Como 2n(n-1)+2n=2n^2, o coeficiente de x^n dá a relação de recorrência
(n+2)(n+1)an+2+2l(n^2-9r)an=0,
ou seja
an+2=2(9-n^2)(n+2)(n+1),an

Passo 6

Temos então duas constantes livres: a0 e a1. A série de termo par (escolhendo a0=1) vem de conectar a2k e gera solução infinita, e a de termo ímpar (escolhendo a1=1) gera um polinômio, pois para n=3 aparece fator 9-3^2=0 e truncamento. Calculando primeiros coeficientes:
– Série par: a2=9, a4=15/2, a6=-7/2, …
– Série ímpar: a3=8/3, a5=0 (e todos superiores zero).

Passo 7

Logo as duas soluções independentes podem ser tomadas como
y1(x)=1+9x^2+tfrac152x^4-tfrac72x^6+cdots, y2(x)=x+tfrac83x^3

Passo 8

Portanto a solução geral é combinação linear destas duas séries.

Resposta

\displaystyle y(x)=C_1\Bigl(1+9x2+\tfrac{15}{2}x4-\tfrac{7}{2}x6+\cdots\Bigr)+C_2\Bigl(x+\tfrac{8}{3}x3\Bigr),\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}.

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