Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
A gente quer a solução em série de potências em torno de 0 da equação
. Vamos usar a técnica padrão de assumir
jeito de transformar a EDO numa relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas em série:
Substituímos tudo em
e reindexamos para expressar tudo como potências de
.
Passo 3
Alinhando potências de
obtemos para
:
e para
o que dá a relação de recorrência
com
livres.
Passo 4
Como é uma EDO de 3º ordem, teremos três constantes independentes
, gerando três séries soluções:
- Para
surge uma série em potências de . - Para
surge uma série em potências de . - Para
surge uma série em potências de .
A solução geral é combinação linear dessas três séries.
Passo 5
Assim, a resposta final é que a solução geral é
onde os coeficientes satisfazem
$$a_{k+3}=\frac{3k+1}{(k+3)(k+2)(k+1)}a_k,
$$
com constantes arbitrárias.
com
Resposta
A solução geral em torno de
é dada por
onde as séries
(para
) têm coeficientes dados pela relação de recorrência
e
são as três constantes livres.