Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
y^prime prime prime-3 x y^prime-y=0.

Passo 1

A gente quer a solução em série de potências em torno de 0 da equação y'''-3xy'-y=0. Vamos usar a técnica padrão de assumir
y(x)= sumn=0^infty anx^n,
jeito de transformar a EDO numa relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas em série:
y'(x)=sumn=1^infty n an x^n-1,
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2,
y'''(x)=sumn=3^infty n(n-1)(n-2) an x^n-3
Substituímos tudo em y'''-3xy'-y=0 e reindexamos para expressar tudo como potências de x^k.

Passo 3

Alinhando potências de x^k obtemos para k=0:
6a3 - a0=0Rightarrow a3=a06,
e para k>=1:
(k+3)(k+2)(k+1)ak+3-3k ak -ak=0
o que dá a relação de recorrência
ak+3=3k+1(k+3)(k+2)(k+1),ak,
com a0,a1,a2 livres.

Passo 4

Como é uma EDO de 3º ordem, teremos três constantes independentes a0,a1,a2, gerando três séries soluções:
  • Para a0=1,a1=a2=0 surge uma série em potências de x^3m.
  • Para a1=1,a0=a2=0 surge uma série em potências de x^3m+1.
  • Para a2=1,a0=a1=0 surge uma série em potências de x^3m+2.
A solução geral é combinação linear dessas três séries.

Passo 5

Assim, a resposta final é que a solução geral é
y(x)=a0y1(x)+a1y2(x)+a2y3(x),
onde os coeficientes satisfazem
$$a_{k+3}=\frac{3k+1}{(k+3)(k+2)(k+1)}a_k,
$$
com ak+3=3k+1(k+3)(k+2)(k+1)ak, constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral em torno de x=0 é dada por
y(x)=a0y1(x)+a1y2(x)+a2y3(x),
onde as séries yr(x)=summ=0^infty a3m+rx^3m+r (para r=0,1,2) têm coeficientes dados pela relação de recorrência
ak+3=3k+1(k+3)(k+2)(k+1),ak,
e a0,a1,a2 são as três constantes livres.

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