Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial
e expressar a solução geral dela como uma série de potências em torno de
. Isso envolve usar a teoria de séries de potências para encontrar uma solução que se encaixe nessa forma específica.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
. Ou seja:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
que aparecem na equação:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de
:
Para a segunda derivada, fazemos
:
Para o termo com
, multiplicamos por
e ajustamos
:
E o termo de
já está em termos de
:
Passo 6
Agora, juntamos todas as somas:
Para simplificar, podemos combinar as somas:
Passo 7
Como essa igualdade deve valer para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, temos a seguinte relação:
Passo 8
Resolvendo para
:
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes
a partir dos anteriores.
Passo 9
Vamos determinar os primeiros termos para entender o padrão. Suponha que
e
sejam os coeficientes iniciais (não determinados pela equação).
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 10
Observando o padrão, percebemos que os coeficientes aos pares (
) dependem de
e os coeficientes aos ímpares (
) dependem de
. Portanto, a solução geral será uma combinação de duas séries independentes:
Resposta
A solução geral da equação
expressa como uma série de potências em torno de
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.