Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
y^prime prime-3 x y^prime-y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial e expressar a solução geral dela como uma série de potências em torno de . Isso envolve usar a teoria de séries de potências para encontrar uma solução que se encaixe nessa forma específica.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências centrada em . Ou seja:
Aqui, são os coeficientes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 que aparecem na equação:
A primeira derivada:
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
A segunda derivada:

Passo 4

Substituímos sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 - 3x sumn=1^infty n an x^n-1 - sumn=0^infty an x^n = 0 , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k :
Para a segunda derivada, fazemos -3 sumk=1^infty k ak x^k :
- sumk=0^infty ak x^k
Para o termo com , multiplicamos por e ajustamos :
E o termo de já está em termos de :

Passo 6

Agora, juntamos todas as somas:
sumk=0^infty (k+2)(k+1) ak+2 x^k - 3 sumk=1^infty k ak x^k - sumk=0^infty ak x^k = 0
Para simplificar, podemos combinar as somas:
sumk=0^infty [ (k+2)(k+1) ak+2 - 3k ak - ak ] x^k = 0

Passo 7

Como essa igualdade deve valer para todo (k+2)(k+1) ak+2 - (3k + 1) ak = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos a seguinte relação:

Passo 8

Resolvendo para ak+2 = (3k + 1)(k+2)(k+1) ak :
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes a partir dos anteriores.

Passo 9

Vamos determinar os primeiros termos para entender o padrão. Suponha que a2 = (3 cdot 0 + 1)(2)(1) a0 = 12 a0 e a3 = (3 cdot 1 + 1)(3)(2) a1 = 46 a1 = 23 a1 sejam os coeficientes iniciais (não determinados pela equação).
Para :
Para :
E assim por diante.

Passo 10

Observando o padrão, percebemos que os coeficientes aos pares ( y(x) = a0 (1 + 12x^2 + 724x^4 + dots ) + a1 (x + 23x^3 + 512x^5 + dots ) ) dependem de e os coeficientes aos ímpares ( ) dependem de . Portanto, a solução geral será uma combinação de duas séries independentes:

Resposta

A solução geral da equação y(x) = a0 (1 + 12x^2 + 724x^4 + dots ) + a1 (x + 23x^3 + 512x^5 + dots ) expressa como uma série de potências em torno de é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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